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- 学 空间平行 后，做 A 组空间平行。
- 学 空间垂直 后，做 B 组空间垂直。
- 学 体积、表面积与等体积法 后，做 C 组体积表面积。
- 学 空间角的几何法 后，做 D 组空间角。
- 学 空间向量求角 后，做 E 组向量求角。
- 学 空间向量求距离 后，做 F 组向量求距离。
- 学 外接球模型 后，做 G 组外接球。
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A. 空间平行
题 1：中位线证明线面平行
如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形，$E$ 为 $PA$ 的中点。求证：$PC\parallel$ 平面 $BDE$。
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连接 $AC,BD$，设交点为 $O$。因为 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $O$ 是 $AC$ 的中点。
在 $\triangle PAC$ 中，$E$ 是 $PA$ 的中点，$O$ 是 $AC$ 的中点，所以
$$
EO\parallel PC.
$$
又因为 $E,O$ 都在平面 $BDE$ 内，所以 $EO\subset$ 平面 $BDE$。因此
$$
PC\parallel \text{平面 }BDE.
$$
题 2：两中点构造平行
如图，在四棱锥 $S-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$O$ 是 $AC$ 的中点，$M$ 是 $SC$ 的中点。求证：$OM\parallel$ 平面 $SAB$。
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在 $\triangle SAC$ 中，$O$ 是 $AC$ 的中点，$M$ 是 $SC$ 的中点，所以
$$
OM\parallel SA.
$$
而 $SA\subset$ 平面 $SAB$，且 $OM$ 不在平面 $SAB$ 内，所以
$$
OM\parallel \text{平面 }SAB.
$$
题 3：棱柱中构造平行四边形
如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$D$ 是 $AB$ 的中点，$E$ 是 $A_1B_1$ 的中点。求证：$DE\parallel CC_1$。
查看解析
在三棱柱中，$AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1$。
点 $D,E$ 分别是 $AB,A_1B_1$ 的中点。由于直三棱柱中 $AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1$，而 $E$ 正是 $D$ 沿侧棱方向平移得到的点，所以
$$
DE\parallel AA_1.
$$
又 $AA_1\parallel CC_1$，所以
$$
DE\parallel CC_1.
$$
B. 空间垂直
题 4：线面垂直判定
如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，且 $PA\perp AB,\ PA\perp AD$。求证：$PA\perp$ 平面 $ABCD$。
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在矩形 $ABCD$ 中，$AB$ 与 $AD$ 是平面 $ABCD$ 内两条相交直线。
题设给出
$$
PA\perp AB,\qquad PA\perp AD.
$$
一条直线垂直于一个平面内两条相交直线，则这条直线垂直于该平面。因此
$$
PA\perp \text{平面 }ABCD.
$$
题 5：由线面垂直推出线线垂直
如图，在直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形。求证：$AA_1\perp BD$。
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直四棱柱的侧棱垂直于底面，所以
$$
AA_1\perp \text{平面 }ABCD.
$$
而 $BD\subset$ 平面 $ABCD$，因此由线面垂直的性质得
$$
AA_1\perp BD.
$$
题 6：面面垂直性质
如图，平面 $\alpha\perp$ 平面 $\beta$，交线为 $l$。直线 $a\subset\alpha$，且 $a\perp l$。求证：$a\perp\beta$。
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这是面面垂直的常用性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内，垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。
已知 $\alpha\perp\beta$，交线为 $l$，且
$$
a\subset\alpha,\qquad a\perp l.
$$
因此
$$
a\perp \beta.
$$
C. 体积、表面积与等体积
题 7：四棱锥体积
如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 为矩形，$AB=4,AD=3$，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，且 $PA=6$。求四棱锥体积。
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底面积为
$$
S_{ABCD}=AB\cdot AD=4\cdot3=12.
$$
因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，所以高为 $PA=6$。
四棱锥体积：
$$
V=\frac13 S_{ABCD}\cdot PA
=\frac13\cdot12\cdot6=24.
$$
题 8：直三棱柱体积与表面积
如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，底面 $\triangle ABC$ 是直角三角形，$AB=3,AC=4,AA_1=5$。求体积。
查看解析
底面直角三角形面积为
$$
S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot3\cdot4=6.
$$
直三棱柱的高为 $AA_1=5$，所以体积为
$$
V=S_{\triangle ABC}\cdot AA_1=6\cdot5=30.
$$
题 9：等体积换顶点
如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 的中点。若 $V_{P-ABC}=18$，求 $V_{P-ABD}$。
查看解析
两个三棱锥 $P-ABC$ 与 $P-ABD$ 具有同一个顶点 $P$，底面都在平面 $ABC$ 内，所以相对于底面所在平面的高相同。
因为 $D$ 是 $BC$ 的中点，所以
$$
S_{\triangle ABD}=\frac12S_{\triangle ABC}.
$$
因此体积也为一半：
$$
V_{P-ABD}=\frac12V_{P-ABC}=9.
$$
D. 几何法求空间角
题 10：异面直线所成角
如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$。求异面直线 $A_1B$ 与 $AC$ 所成角的余弦值。
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可以用平移法，也可以直接用坐标理解。设
$$
A(0,0,0),\quad B(2,0,0),\quad C(2,2,0),\quad A_1(0,0,2).
$$
则
$$
\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2),\qquad \overrightarrow{AC}=(2,2,0).
$$
所以
$$
\cos\theta
=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{A_1B}||\overrightarrow{AC}|}
=\frac{4}{2\sqrt2\cdot2\sqrt2}
=\frac12.
$$
题 11：线面角
如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$。求直线 $A_1C$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正弦值。
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直线 $A_1C$ 在底面 $ABCD$ 上的射影是 $AC$，所以线面角为 $\angle A_1CA$。
在直角三角形 $A_1AC$ 中，
$$
A_1A=1,\qquad A_1C=\sqrt3.
$$
因此
$$
\sin\theta=\frac{A_1A}{A_1C}=\frac1{\sqrt3}.
$$
题 12：二面角
如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求平面 $ADD_1A_1$ 与平面 $ABCD$ 所成二面角。
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平面 $ADD_1A_1$ 是正方体的一个侧面，平面 $ABCD$ 是底面，两者沿 $AD$ 相交。
正方体中侧面垂直于底面，所以所成二面角为
$$
90^\circ.
$$
E. 空间向量求角
题 13：向量求异面直线夹角
在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求直线 $A_1C$ 与 $B_1D$ 所成角的余弦值。
查看解析
建立坐标：
$$
A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(1,1,0),\ D(0,1,0),\ A_1(0,0,1),\ B_1(1,0,1).
$$
则
$$
\overrightarrow{A_1C}=(1,1,-1),
$$
$$
\overrightarrow{B_1D}=(-1,1,-1).
$$
点积为
$$
\overrightarrow{A_1C}\cdot\overrightarrow{B_1D}
=-1+1+1=1.
$$
两个向量模长都是 $\sqrt3$，所以
$$
\cos\theta=\frac{|1|}{3}=\frac13.
$$
题 14：向量求线面角
在棱长为 $1$ 的正方体中，求直线 $A_1C$ 与底面 $ABCD$ 所成角的正弦值。
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底面 $ABCD$ 的法向量可取
$$
\vec n=(0,0,1).
$$
直线 $A_1C$ 的方向向量为
$$
\vec v=\overrightarrow{A_1C}=(1,1,-1).
$$
若线面角为 $\theta$，则
$$
\sin\theta=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}
=\frac{1}{\sqrt3}.
$$
题 15：向量求二面角
已知平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec n_1=(1,0,0)$，平面 $\beta$ 的法向量为 $\vec n_2=(1,1,0)$。求两个平面所成锐二面角的余弦值。
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两个平面的夹角等于两个法向量夹角或其补角。锐二面角取余弦绝对值：
$$
\cos\theta=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}.
$$
计算：
$$
\vec n_1\cdot\vec n_2=1,\qquad |\vec n_1|=1,\qquad |\vec n_2|=\sqrt2.
$$
所以
$$
\cos\theta=\frac1{\sqrt2}.
$$
F. 空间向量求距离
题 16：点线距
在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2,BC=2,AA_1=2$。求点 $A$ 到直线 $B_1C$ 的距离。
查看解析
设
$$
A(0,0,0),\quad B_1(2,0,2),\quad C(2,2,0).
$$
直线 $B_1C$ 的方向向量为
$$
\vec v=\overrightarrow{B_1C}=(0,2,-2).
$$
取
$$
\overrightarrow{B_1A}=(-2,0,-2).
$$
点到直线距离：
$$
d=\frac{|\overrightarrow{B_1A}\times \vec v|}{|\vec v|}.
$$
计算得
$$
|\overrightarrow{B_1A}\times \vec v|=4\sqrt3,\qquad |\vec v|=2\sqrt2.
$$
因此
$$
d=\sqrt6.
$$
题 17：点面距
在棱长为 $1$ 的正方体中，求点 $A_1$ 到平面 $ABCD$ 的距离。
查看解析
正方体中
$$
AA_1\perp \text{平面 }ABCD.
$$
所以点 $A_1$ 到平面 $ABCD$ 的距离就是垂线段 $A_1A$ 的长度。
棱长为 $1$，因此距离为
$$
1.
$$
题 18：用法向量求点面距
点 $P(1,2,3)$ 到平面
$$
x+y+z=0
$$
的距离是多少？
查看解析
平面 $x+y+z=0$ 的法向量为
$$
\vec n=(1,1,1).
$$
点面距公式：
$$
d=\frac{|1+2+3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}
=\frac6{\sqrt3}=2\sqrt3.
$$
G. 外接球模型
题 19：长方体模型
长方体的长、宽、高分别为 $2,3,6$。求其外接球半径和表面积。
查看解析
长方体外接球的直径等于体对角线：
$$
d=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7.
$$
所以半径为
$$
R=\frac72.
$$
表面积：
$$
S=4\pi R^2=4\pi\cdot\frac{49}{4}=49\pi.
$$
题 20：墙角模型
三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA,PB,PC$ 两两垂直，且 $PA=2,PB=3,PC=6$。求该三棱锥外接球半径。
查看解析
三条棱 $PA,PB,PC$ 两两垂直，可以把它补成长方体的一条体对角线模型。
外接球直径为
$$
\sqrt{PA^2+PB^2+PC^2}
=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7.
$$
所以外接球半径为
$$
R=\frac72.
$$
题 21：正四面体外接球
正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $2$。求其外接球表面积。已知正四面体外接球半径公式为 $R=\frac{\sqrt6}{4}a$。
查看解析
正四面体棱长 $a=2$，外接球半径为
$$
R=\frac{\sqrt6}{4}\cdot2=\frac{\sqrt6}{2}.
$$
表面积为
$$
S=4\pi R^2
=4\pi\cdot\frac{6}{4}
=6\pi.
$$
使用建议
- A、B 两组适合讲完平行垂直判定后立即布置，要求学生说出“关键辅助线”或“平面内两条相交直线”。
- C 组适合体积课使用，重点训练“底面与高”的选择。
- D、E 两组适合对比几何法和向量法，学生要能说明为什么换方法。
- F、G 两组适合复习课或周日两小时课，题目计算量不大，但模型识别很关键。