坐标系怎么建
好的坐标系有三个标准：
- 原点放在垂直关系最多、边长最明确的点。
- 坐标轴沿互相垂直的边或高来取。
- 尽量让更多点的坐标出现 $0$。
正方体、长方体、直棱柱通常最适合直接沿三条棱建系。正棱锥常把底面中心作为原点，把底面放在 $xOy$ 平面，把高放在 $z$ 轴上。
向量基本运算
若 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则
$$
\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1).
$$
内积：
$$
\mathbf a\cdot\mathbf b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
$$
模长：
$$
|\mathbf a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
$$
垂直判定：
$$
\mathbf a\perp\mathbf b\quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf a\cdot\mathbf b=0.
$$
平行判定：
$$
\mathbf a\parallel\mathbf b\quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf a=\lambda\mathbf b.
$$
平面与法向量
一个向量 $\mathbf n$ 如果垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线，就叫平面 $\alpha$ 的法向量。
求法向量的基本方法：
- 在平面内取两条不平行向量 $\mathbf u,\mathbf v$。
- 设法向量 $\mathbf n=(x,y,z)$。
- 列方程
$$
\mathbf n\cdot\mathbf u=0,\qquad \mathbf n\cdot\mathbf v=0.
$$
- 解出一个非零向量即可。法向量不唯一，成比例都可以。
建系题流程
- 先写出所有关键点坐标。
- 再写方向向量。
- 如果涉及平面，求法向量。
- 最后根据目标选择角公式或距离公式。
训练题
- 已知 $A(1,2,3)$，$B(4,0,5)$，求 $\overrightarrow{AB}$。
查看解析
$$
\overrightarrow{AB}=(4-1,\ 0-2,\ 5-3)=(3,-2,2).
$$
- 判断 $\mathbf a=(1,2,-1)$ 与 $\mathbf b=(2,-1,0)$ 是否垂直。
查看解析
$$
\mathbf a\cdot\mathbf b=1\cdot2+2\cdot(-1)+(-1)\cdot0=0.
$$
所以二者垂直。
- 判断 $\mathbf a=(2,-4,6)$ 与 $\mathbf b=(-1,2,-3)$ 是否平行。
查看解析
$\mathbf a=-2\mathbf b$，所以二者平行。
- 平面内有向量 $\mathbf u=(1,0,1)$，$\mathbf v=(0,1,1)$，设法向量 $\mathbf n=(x,y,z)$，写出求 $\mathbf n$ 的方程。
查看解析
由法向量垂直平面内两条方向向量，得
$$
x+z=0,\qquad y+z=0.
$$
可取 $z=1$，得到 $\mathbf n=(-1,-1,1)$。
- 正方体棱长为 $1$，以 $A$ 为原点，$AB,AD,AA_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴，写出 $C_1$ 的坐标。
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$C_1$ 从 $A$ 出发沿 $AB,AD,AA_1$ 各走 $1$，所以坐标为 $(1,1,1)$。
讲题追问
建系后让学生解释：为什么这个坐标系让点的坐标最简单？如果坐标系只是随便建的，后面计算会越来越重。