空间垂直：线线、线面、面面

线线垂直

两条相交直线所成角为 $90^\circ$，称为垂直。两条异面直线也可以定义所成角；若它们平移到同一点后的夹角为 $90^\circ$，也说这两条异面直线互相垂直。

在高中证明中，线线垂直常来自：

1. 正方形、矩形、直角三角形。
2. 勾股定理或勾股逆定理。
3. 线面垂直的性质。
4. 面面垂直的性质。

线面垂直

定义：如果直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内经过垂足的任意一条直线，则 $l\perp\alpha$。

判定定理：如果直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内两条相交直线，那么 $l\perp\alpha$。

性质定理：如果 $l\perp\alpha$，那么 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内任意一条过垂足的直线。实际做题时，常用来推出线线垂直。

面面垂直

定义：两个平面相交，若它们所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。

判定定理：如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直。

性质定理：若 $\alpha\perp\beta$，交线为 $l$，在 $\alpha$ 内作直线 $m\perp l$，则 $m\perp\beta$。

这个性质很重要，因为它把面面垂直转化为线面垂直。

证明链模板

证明线面垂直：

1. 在目标平面内找两条相交直线。
2. 证明目标直线分别垂直这两条直线。
3. 用线面垂直判定。

证明面面垂直：

1. 在一个平面内找一条直线。
2. 证明这条直线垂直另一个平面。
3. 用面面垂直判定。

从面面垂直推出线面垂直：

1. 找两个平面的交线。
2. 在其中一个平面内作一条垂直交线的直线。
3. 得到这条直线垂直另一个平面。

训练题

1. 在三棱锥 $P-ABC$ 中，若 $PA\perp AB$，$PA\perp AC$，且 $AB,AC$ 相交，证明 $PA\perp$ 平面 $ABC$。

1. 若 $PA\perp$ 平面 $ABC$，证明 $PA\perp BC$。

1. 已知平面 $\alpha\perp\beta$，交线为 $l$。若 $m\subset\alpha$ 且 $m\perp l$，证明 $m\perp\beta$。

1. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，证明 $AA_1\perp$ 平面 $ABCD$。

1. 已知 $l\perp\alpha$，且 $m\parallel l$。证明 $m\perp\alpha$。

讲题追问

让学生说清楚：我现在要证明的是线线垂直、线面垂直，还是面面垂直？如果对象说不清，后面的定理就一定会乱。