立体几何与空间向量：考点 22-28 全量本地题库

1．如图，点E和点F分别是BC，的中点，求证：平面

【答案】见解析

【解析】证明如图，连接.

在中，因为E和F分别是BC，的中点，

所以.又因为，平面，所以平面.

2．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点，证明：平面;

【答案】证明见解析

【解析】设BD交AC于点O，连结EO．

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．

又E为PD的中点，所以EO∥PB

又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．

3．如图所示，在三棱锥中，为的中点，垂直平分，且分别交于点，证明：

【答案】见解析

【解析】证明：垂直平分 为的中点

又为的中点 为的中位线

又

4．如图,,若为中点,求证:∥平面

【答案】证明见解析

【解析】设与交于点,连结,在矩形中,点为中点,

如图:

为中点,∥

又平面,平面∥平面．

5．已知四棱锥中，侧面，，是边长为2的正三角形，底面是菱形，点为的中点，求证：

【答案】证明见解析

【解析】连结，交于，由于底面为菱形，为中点

又为的中点，，又

6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D．

【答案】略

【解析】证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，

∴OD∥BC1.

又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，

∴BC1∥平面CA1D.

【题组二 构造平行四边形证线面平行】

1．如图，四棱锥中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，, E是PD的中点，证明：直线∥平面

【答案】见解析

【解析】取的中点,连,

是的中点, ,

又 四边形是平行四边形

∥又平面,平面 ∥平面

2．如图，菱形，分别是的中点，求证：平面；

【答案】证明见解析

【解析】解法一：（1）取中点，连接，.

因为分别是的中点，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

3．由四棱柱截去三棱锥，后得到的几何体如图所示.四边形为正方形，为与的交点，E为的中点，证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】如图②所示，

取的中点，连接由于多面体是四棱柱，所以，，

因此四边形为平行四边形，所以.

又平面，平面，所以平面.

4．在如图所示的五面体中,四边形为菱形,且为中点，求证:平面

【答案】见解析

【解析】取中点,连接,

因为分别为的中点,所以,且,

因为四边形为菱形,所以平面平面,

所以平面.

因为平面平面平面,

所以.

又,所以.

所以四边形为平行四边形，所以.

又平面，且平面,所以平面.

【题组三 线面垂直证线面平行】

1．如图所示，在正方体中，是上一点，是的中点，平面.求证：.

【答案】证明见解析

【解析】因为四边形为正方形，所以.

又平面，平面，

所以.

因为，

所以平面.

又平面，

所以.

2．已知正方体，分别为和上的点，且，.

（1）求证：；

（2）求证：三条直线交于一点.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】证明：(1)如图，连结和，

在正方体中，，

∵，

∴，

又，，

∴．

又在正方体中，，,

∴，

又，

∴．

同理可得，

又，

∴．

∴∥.

（2）由题意可得（或者和不平行），

又由(1)知∥，

所以直线和必相交，不妨设，

则，

又，

所以，

同理．

因为，

所以，

所以、、三条直线交于一点．

【题组四 三角形相似比证线线平行】

1．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且求证：平面.

【答案】证明见解析

【解析】如下图所示，取的中点，在线段上取点，使得，连接、、.

，，，且.

、分别为、的中点，，且.

为的中点，.

且，四边形是平行四边形，.

平面，平面，平面.

2．如图，三棱锥中，底面ABC，，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且,明：平面BDE；

【答案】见解析

【解析】设AE中点为G，连结GF，GC，

则，平面EBD.

，∴，平面，

∴平面平面EBD，∴平面；

【题组五 线面平行性质证线线平行】

1．如图，在三棱柱中，是的中点，是上一点，但平面，则的值为_______.

【答案】

【解析】如下图所示，连接交于点，连接.

在三棱柱中，，，

为的中点，，.

平面，平面，平面平面，，

，故答案为.

2.如图，在多面体中，平面，∥，平面平面，，，,求证：∥；

【答案】证明见解析

【解析】证明：∵∥，平面，平面，

∴∥平面.

又平面，平面平面，∴∥．

3．如图所示，三棱柱中，点，分别是线段，的中点，设平面与平面的交线为，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图所示，连接，在中，点，分别为，的中点，所以.

又平面，平面，所以平面.

又平面，平面平面，所以.

4．如图所示，已知三棱锥中，，分别是边，的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】证明：在中，因为，分别是边，的中点，

所以由三角形的中位线定理可知.

又因为面，面，

所以由线面平行的判定定理可知面.

又因为面，面面，

所以由线面平行的性质定理可知.

【题组六 面面平行性质证线线平行】

1．在如图所示的五面体中，四边形为平行四边形，平面，，为的中点.求证：平面.

【答案】证明见解析

【解析】取的中点，连接、.

因为、分别为、的中点，所以.

又平面，且平面，所以平面，

因为平面，平面，平面平面，所以.又，，所以，，

所以四边形为平行四边形，所以.

又平面，且平面，以平面.

又，所以平面平面.

又平面，所以平面.

2．如图，在正四棱锥中，点在棱上，且，点为棱的中点,求证：//平面

【答案】见详解

【解析】如图

取的中点，又，

所以为的中点，

连接交于点

因为四边形正方形，所以为的中点

又点为棱的中点，所以////，

又

且平面，平面

所以平面//平面，又平面

所以//平面.

3．如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点.

求证：.

【答案】证明见解析

【解析】因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE平面AA1D，

所以BE∥平面AA1D．

因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC平面AA1D，

所以BC∥平面AA1D．

又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，

所以平面BCE∥平面AA1D．

又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，

所以EC∥A1D．

4．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M，N分别是PB，PC的中点.求证：平面AMC.

【答案】证明见解析

【解析】如图，连接DB交AC于点F.

∵，，∴.

取PM的中点G，连接DG，FM，则，，

.

又平面AMC，平面AMC，∴平面AMC.

连接GN，则.

又平面AMC，平面AMC，∴平面AMC.

又，∴平面平面AMC.

又平面DNG，∴平面AMC.

5．如图，在四棱柱中，点M和N分别为和的中点、求证：平面.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：如图，

设E为棱的中点，连接.

分别为，的中点，

，.

又在平面的外部，

平面，∥平面.又，

∴平面平面.

又平面，

平面.

【题组七 面面平行】

1．如图，在正方体中，分别是，的中点.

求证：

（1）平面；

（2）平面平面.

【答案】证明见解析

【解析】（1）如图，连接.

∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.

又∵是的中点，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）连接，，

∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.

又∵是中点，∴.

∵平面平面，

∴平面.

由（1）知平面，且，

∴平面平面.

2．如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．

求证：平面平面BEF；

若平面，求证：H为BC的中点．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

如图，

，F分别为，的中点，，

平面，平面，平面，

又F，G分别为，AB的中点，，

又，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面，

又，

平面平面BEF；

平面平面，平面平面，

平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，

则，得，

为AB的中点，为BC的中点．

1．如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，,证明：平面

【答案】见解析

【解析】证明：因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，则 .又，，

所以平面，所以.

因为，，所以是正方形，所以.

又，所以平面.

2．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，E为棱的中点，F为棱上的动点,求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】如下图所示,由于四边形是菱形,则,

又∵,∴是等边三角形,∵E为的中点,∴,

∵,∴.

∵底面,平面,∴,

∵,平面,∴平面；

3．如图，在五棱锥中，平面，，，，，，,求证：平面

【答案】见解析

【解析】在三角形中，∵，，，

∴，

∴，∴，∴．

由得．又平面，面，故．

又，∴平面．

4．如图，平面平面，且为正方形，，，为的中点,求证：平面

【答案】详见解析

【解析】因为，由余弦定理得，所以，所以.由于平面平面，且两个平面相交与，所以平面，所以，又因为，所以平面.

5．如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，,求证：平面

【答案】见解析

【解析】平面平面，,

平面平面，

平面，

∵AF在平面内，∴，

又为圆的直径，∴，

∴平面.

6．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，,求证：平面

【答案】见解析

【解析】证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，

所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，

又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2，

所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，

所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.

又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，

所以AC⊥平面BCE.

【题组二 面面垂直】

1．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，，为边的中点，点在线段上,证明：平面平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接，因为底面是菱形，，

所以是正三角形，

因为为边的中点，，

所以，，，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

2．如图，在平面图形中，为菱形，，为的中点，将沿直线向上折起，使,求证：平面平面

【答案】见解析

【解析】取中点，连接，，，

……①

由底面，所以，

又由为的中点，所以，

可得，

又由，所以平面，

……②

由①②可得：面，

又面平面平面.

3．如图，在四棱锥中，平面，，，,求证:平面平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图，过点作于点.因为，所以四边形是等腰梯形，可得，所以，所以.又因为平面平面，所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.

4．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是ABC，的中点,求证：面面

【答案】证明见解析

【解析】，D是AC的中点

直三棱柱中平面ABC

平面平面ABC，且平面平面

平面

平面

又在正方形中，D，E分别是AC，的中点

，又

平面.

又面ABE

面面

5．梯形中，，，，，过点作，交于（如图1）.现沿将折起，使得，得四棱锥（如图2）求证：平面平面

.

【答案】证明见解析

【解析】在中，∵，，∴，又，∴，

又，∴四边形为平行四边形.

∵，∴平行四边形为菱形，∴，

又，平面，，

∴平面.

又∵平面，∴.平面平面.

【题组三 线线垂直】

1．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，为底面的对角线，为的中点,求证：

【答案】见解析

【解析】证明：连接交于,

∵在四棱柱中，

平面，平面，∴．

∵四边形是正方形，∴．

又∵，∴平面．

∵平面，∴．

2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面,证明：

【答案】见解析

【解析】证明：连接，

∵底面，底面,∴.

∵四边形是菱形，∴.

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴.

1．如图，在四棱锥中，正所在平面与矩形所在平面垂直．

（1）证明：在底面的射影为线段的中点；

（2）已知，，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】证明：设线段的中点为，连接，如图．

因为为正三角形，所以，

因为平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，即在底面的射影为线段的中点．

（2）解：在中，，，则，

因为，所以，即，

则，从而，即．

所以．

由（1）知平面，且，

所以．

2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，点在线段上，且，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）∵，为的中点，∴，

又∵底面是菱形，，∴为等边三角形，

∴，又∵，∴平面，

（2）∵，∴，

又∵平面平面，平面平面，

，平面，∴，

∴，

∵平面，，∴平面，又，

∴.

3．如图1，为等边三角形，分别为的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，

为的中点，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析； （2）.

【解析】证明：（1）取线段的中点为，连接，，

在中，，分别为，的中点，

所以，，

又，分别是，的中点，

所以，，

所以，，

所以四边形为平行四边形，

∴，

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为为的中点，，∴，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

因为为等边三角形，，

则，，

由图得，

设点到平面的距离为，

即：，

则有，

∴，

所以点F到平面的距离为．

4．如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若是线段上一点，，三棱锥的体积为，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】（1）∵平面，平面，

∴，在直三棱柱中易知平面，

∴，∵，∴平面，

∵平面，

∴.

（2）设，过点作于点，由（1）知平面，∴.

∵，∴，

∴.

∵平面，其垂足落在直线上，

∴

∵，

在中，，又，∴，

在中，，∴.

又三棱锥的体积为，∴，解得.

∴，∴.

5．在三棱柱中，，分别为，中点．

（1）求证：面；

（2）若面面， 为正三角形，，，，求四棱锥的体积．

【答案】（1）见解析（2）1

【解析】（1）连结，

因为、分别为、中点．

在三棱柱中，，

所以

所以四边形为平行四边形

所以，因为平面，平面

所以面

（2）因为为正三角形，为的中点

所以

因为平面平面，平面平面

所以平面

所以为三棱柱的高

因为，为正三角形，所以

6．如图，在三棱柱中，是棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积与三棱柱的体积之比.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，

∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，

∴四边形AA1C1C是平行四边形，

∴O是AC1的中点，又D是AB的中点，

∴OD∥BC1，又OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD．

（2）设三棱柱A1B1C1﹣ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积V＝S△ABC•h，

又V＝VV，VVS△ABC•h，

∴V，

∵CC1∥BB1，CC1⊄平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，

∴CC1∥平面ABB1A1，

∴VV，

∵SS，∴VV，

∴三棱锥C﹣AA1E的体积与三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积之比为．

7．如图所示，正三棱锥的高为2，点是的中点，点是的中点.

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）如图，连接，因为是的中点，是的中点，

所以在中，,

平面，

平面，

所以平面.

（2）

解：由等体积法，得，

因为是的中点，所以点到平面的距离是点，

到平面的距离的一半.

如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高，

,

所以，解得，

所以该正三棱柱的底面边长为.

8．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3.

（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD．

（2）若，求几何体ABCDEF的体积．

【答案】（1）见解析;（2）∴.

【解析】（1）证明：∵四边形是菱形，∴

∵平面∴

∴平面

∴平面⊥平面

（2）设与的交点为，，

由（1）得平面，

∵平面∴，

∵，∴，

∴，∴

∴，

∵，∴

∴，

∴，∴

∴.

【题组二 表面积】

1．如图所示，四棱锥中，平面，，，，．

（1）求证：；

（2）求四棱锥的表面积．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）如图，

取中点，连结，，

因为，，

所以为正三角形，所以．

又因为为等腰三角形，所以，

所以、、三点共线，所以．

又平面，平面，

所以，，

所以平，平面，

所以．

（2）由（1）知，，，，

，，

所以，

．

2．如图，在四棱锥中，，，，，平面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的表面积.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）因为平面，平面，平面，

所以，，

因为，，所以.

因为，，

所以，

所以，，

由，，可得，

平面.

（Ⅱ）由题意可知，

，

由（Ⅰ）可知，平面，平面，

所以，同理可得，

又，，

所以，

所以四棱锥的表面积.

3．如图，在四棱锥中，为等腰三角形的底边中点，平面与等腰梯形所在的平面垂直，，，.

（1）求证：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）过点，作，交于.

由已知得，，

所以

因为，所以，

所以，

所以，所以.

由已知得，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，所以，

因为，平面.

（2）在中，由余弦定理可得，同理，因为，

所以，

又因为

所以

所以，

所以，

所以三棱锥的侧面积为.

【题组三 求参数】

1．在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．

【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） .

【解析】（Ⅰ）证明：因为在菱形中，，为线段的中点，

所以．

因为平面平面

平面平面，

平面，

所以平面．

因为平面，

所以．

（Ⅱ）证明：如图，取为线段的中点，连接OP,PM；

因为在中，，分别是线段，的中点，

所以，．

因为是线段的中点，菱形中，，，

所以．

所以，．

所以，．

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面．

所以 是四棱锥的高，又S= ,

因为，

所以．

2．在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，过的平面与面交于两点.

（1）求证： ；

（2）求证：平面平面；

（3）设，当为何值时四棱锥的体积等于，求的值.

【答案】（1）见证明；（2）见证明；（3）

【解析】（1）在平行四边形中 ，由分别为的中点，得

因为面，面.

所以面.

过的平面与面交于.

所以∥.

（2）证明：在平行四边形中，

因为，，

所以.

由（1）得，所以.

因为侧面底面，且，面面

且面所以底面.

又因为底面，所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

所以平面.

所以平面平面

（3）由题得 ,

.

所以,因为

所以.

【题组四 求最值】

1．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，，圆台的侧面积为.若点C，D分别为圆，上的动点且点C，D在平面的同侧.

（1）求证：；

（2）若，则当三棱锥的体积取最大值时，求多面体的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）设，的半径分别为，，

因为圆台的侧面积为，

所以，可得.

因此，在等腰梯形中，，，.

如图，连接线段，，，

在圆台中，平面，平面，

所以.

又，所以在中，.

在中，，故，即.

（2）由题意可知，三棱锥的体积为，

又在直角三角形中，，

所以当且仅当，

即点D为弧的中点时，有最大值.

过点C作交于点M，

因为平面，平面，

所以，平面，平面，，

所以平面.

又，则点C到平面的距离，

所以四棱锥的体积.

综上，当三棱锥体积最大值时，

多面体

2．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点．

（1）证明：平面；

（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）证明：连接与交于，连接，

因为是菱形，所以为的中点，

又因为为的中点，

所以，

因为平面平面，

所以平面．

（2）解：取中点，连接，

因为四边形是菱形，，且，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以．

同理可证：，又，

所以平面，

所以平面平面，

又平面平面，

所以点到直线的距离即为点到平面的距离，

过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为，

因为为的中点，故点到平面的最大距离为1，

此时，为的中点，即，

所以，

所以．

3．如图，将斜边长为的等腰直角沿斜边上的高折成直二面角，为中点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）为线段上一动点，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥外接球的体积.

【答案】（1）.（2）

【解析】解法一：（1）设为中点，连接､.

∵为等腰直角三角形，

且二面角为直二面角，

∴平面

∴，，

由平面几何可知，，

∴，，

∴就是二面角的平面角，

在中，，，，

∴，

∴二面角的余弦值为.

（2）设直线与平面所成的角为，点到平面的距离为，

则，

在三棱锥中，，

由，求得，

∴当最小时，直线与平面所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，

∴当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.

由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，

则，

∴三棱锥外接球的半径为，

∴外接球的体积.

解法二：（1）∵为等腰直角三角形，且二面角为直二面角，

∴平面，

∴，

∴以为坐标原点，以､､所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵在平面图形中，是斜边为的等腰直角三角形，且为高的中点，

∴，，，，，

∴，，，

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

由，得，令，则

∴，

同理可求得，

∴，

∴二面角的余弦值为.

（2）如图，设，

可得，

∴，

又由（1）可知平面的法向量为，∴，

即直线与平面所成的角的正弦值为，

∵，

∴，当且仅当时，等号成立.

∴当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.

由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，

则，

∴三棱锥外接球的半径为，

∴外接球的体积.

4．如图所示，在三棱柱中，平面是线段上的动点，是线段上的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，且直线所成角的余弦值为，试指出点在线段上的位置，并求三棱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）因为，所以平面ABC.

而平面BC,所以平面平面BC.

因为线段的中点为，且是等腰三角形，所以

而平面ABC, 平面ABC平面BC=BC ,

所以.又因为，所以

（Ⅱ），则.，即.又，所以，故，所以是直角三角形.

在三棱柱中，，直线所成角的余弦为，

则在中，，，所以.

在中，，所以.因为，

所以点是线段的靠近点的三等分点.

因为

所以.

5．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？

【答案】（1）312（2）

【解析】（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.

因为A1B1=AB=6，

所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.

（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0<h<6，OO1=4h.连结O1B1.

因为在中，

所以，即

于是仓库的容积，

从而.

令，得或（舍）.

当时，，V是单调增函数；

当时，，V是单调减函数.

故时，V取得极大值，也是最大值.

因此，当m时，仓库的容积最大.

6．如图，在四棱锥中，平面, ，，，,是线段的中点.

（1）证明：平面

（2）当为何值时，四棱锥的体积最大？并求此最大值

【答案】（1）见解析（2）当PA＝4时，体积最大值为16．

【解析】（1）取PD中点N，连接MN，CN，

∵M是AP的中点，

∴MN∥AD且MN，

∵AD∥BC，AD＝2BC，

∴MN∥BC，MN＝BC，

∴四边形MNCB是平行四边形，

∴MB∥CN，

又BM平面PCD，CN⊂平面PCD，

∴BM∥平面PCD；

（2）设PA＝x（0＜x＜4），

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，

∵，

∴AB，

又∵AB⊥AD，AD＝2BC＝4，

∴VP﹣ABCD

＝16，

当且仅当x，即x＝4时取等号，

故当PA＝4时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，最大值为16．

【题组五 历史中的空间几何体】

1．朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（ ）（注：）

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

【答案】A

【解析】设截面圆半径为，截下来的几何体高为，

若以3作为圆周率，则，

又，故，故选：A.

2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为

.

故选：A.

1．如图，在正四面体中，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 .

【答案】

【解析】如图，连接取其中点，连接，∵是中点，∴，

∴异面直线AN，CM所成的角就是（或其补角），

设正四面体的棱长为1，则，，

在中，

，

在中，．

异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．

2．已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，点在上，且，则异面直线与所成角为 .

【答案】

【解析】由条件将直三棱柱补成长方体，如图.

由条件,设点为的中点，连接.

则，所以（或其补角）为异面直线与所成角.

在中，，

所以为等边三角形，所以

3．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥中，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 .

【答案】

【解析】如图，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，

则，，从而四边形是平行四边形，则，

且.

因为是的中点，是的中点，

所以为的中位线，所以，则是异面直线与所成的角.由题意可得，.

在中，由余弦定理可得，

则，即.

在中，由余弦定理可得.

4．已知为正三棱锥，则与所成角大小为 .

【答案】

【解析】

取的中点，连结，，为中点，.

同理可得，是平面内的相交直线，

平面，平面，

，即直线与所成的角的大小为.

5．如图，为等边三角形所在平面外一点，且，分别为的中点，则异面直线与所成的角为______.

【答案】45°

【解析】如图，取的中点，连接，则

等于异面直线与所成角.

设，则.

取的中点，连接.

，为等边三角形，

，

平面，，.

所以，异面直线与所成的角为.故答案为：

6．如图，在底面为正方形的四棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________

【答案】

【解析】

取PD的中点记为F点，BC的中点记为 点，连接FG，GD，因为，且，，故得到四边形EFGB为平行四边形，故角GFD或其补角为所求角，根据题干得到，三角形PAB为等边三角形，BF为其高线，长度为，FG=，DG=，

FD=1，根据余弦定理得到，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取正值，为：.故答案为.

7．如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．

【答案】

【解析】由题意，取中点，连接，则，可得直线和所成角的平面角为，（如图）

过作垂直于，平面⊥平面，

，

平面，，

且，结合平面图形可得：,

,,

又=, ∴=,

∴在中，=,

∴△DFC是直角三角形且，可得．

【题组二 线面角】

1．如图，已知是等腰三角形，且，，点是的中点将沿折起，使得，则此时直线与平面所成角的正弦值为 .

【答案】

【解析】如图，作，垂足为，连接.

∵，，，

∴平面.

∵平面，∴，

又，，∴平面，

∴为直线与平面所成的角.

由题意：

可知，.

设中，边上的高为，

则.

由，得，

∴，

2．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成的角的正切值为 .

【答案】

【解析】连接，由平面，

知即为直线与平面所成的角.在中，，，

则.

3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）证明：连接，

∵底面，底面,∴.

∵四边形是菱形，∴.

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴.

（Ⅱ）设直线AC与BD交于点O，∵底面，

∴直线与平面所成角的是.

设“”，由，可得，

∵四边形是菱形，

在中，，则，

于是，

∴

∴直线与平面所成角的余弦值是.

4．如图几何体中，底面为正方形，平面，，且.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的大小.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）四边形为正方形

又平面 平面

又，平面 平面

平面， 平面平面

平面 平面

（2）连接交于点，连接

平面，平面

又四边形为正方形

平面， 平面

即为与平面所成角

且

又

即与平面所成角为：

5．如图，正方形的边长为2，与的交点为，平面，，且.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）∵平面，平面

∴，又，，

，平面，∴平面.

又平面，∴.

∵四边形是正方形，∴.

又，平面

所以平面.

（2）取的中点，连接，.

∵平面，平面，

∴，又，∴.

∵，∴平面，

∴为直线与平面所成的角

在中，知，，

∴.

6．如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB ，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F 分别为AC，BP中点．

（1）求证：EF∥平面PCD；

（2）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】(1)因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E．

因为E，F分别为AC，BP中点，所以EF是△BDP的中位线，

所以EF∥DP．又DP⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．

(2)取AB中点O,连接PO，DO

∵△PAB为正三角形，∴PO⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面PAB

∴PO⊥平面ABCD,∴DP在平面ABCD内的射影为DO，

∠PDO为DP与平面ABCD所成角，

在Rt△DOP中，sin∠PDO=,

∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为

7．已知四边形是正方形，平面，平面，，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】如图所示：连接、、

（1）证明：四边形是正方形，且

即为等腰三角形

又为棱的中点，得：

平面，平面，得：

又，则四边形为平行四边形

又正方形，

即为等腰三角形

又，，平面，平面

平面

（2）取的中点，连接、

点、分别为、的中点

为的中位线

又平面

平面

为斜线过点向平面的一条垂线，垂足为点，则斜线在平面内的射影为，直线与平面所成角为，设

由几何关系可得：，

在中得：.

8．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，为中点，且.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，

∴平面，又由平面，∴，

∵为正方形，∴，

又∵，∴平面，∴.

（2）过作于，连接.

由（1）得平面，∴，

又，所以平面，

∴为与平面所成角，

∴，，，∴，，

由∽，可得，∴，

∴

9．如图，在四棱锥中中，，，，，是正三角形.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明：∵是正三角形，，

∴，

∴，∴，

∵，∴平面，

∴；

（2）设点E是的中点，连接，延长交于点H，连接.

∵是正三角形，∴，由（1）得平面，∴平面平面，

∴平面，

∴与平面所成角为，

∵，

∴

∴

∴与平面所成角的余弦值

10．已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，E为PC的中点．

（1）证明：；

（2）求直线AP与平面ADE所成角．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）由已知得：，∴，∴，

又，且平面ABCD，

∴平面ABCD，又平面ABCD，∴

又平面PDC，故平面.

∵平面PDC，∴；

（2）∵，E为PC中点，∴

，且平面ADE，∴平面ADE

∴是PA与平面ADE所成角

在中，，在中，

∴，∴直线AP与平面ADE所成角.

【题组三 二面角】

1．如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=2,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=,则二面角A-BC-D的大小为 。

【答案】

【解析】在中， ，则 ；

在中， ， ，则 ；

又 ，在中， ，则；

过点作，使 ，连接 ，则四边形为矩形， ，因为 ，则平面 ， ，则平面 ，则 ， ，在中， ，则 ， ，由于 ， ，则为二面角 的平面角，且 .

2．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，平面平面且.

（1）求证：；

（2）求二面角的正切值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，所以，又因为，则平面平面，则.

（2）过作交于点，由（1）知，，所以平面，平面，则，所以为二面角的平面角.因为三角形为等边三角形，令，则，，则.

3．如图，在四棱锥中，底面，是边长为的正方形．且，点是的中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）由题意，底面是正方形，.

底面，平面，.

，平面.

平面，.

又，点是的中点，，

，平面.

平面，；

（2）法—：由题知、、两两垂直，以、、为、、轴建立空间直角坐标系．

则，，则，，

平面，则是平面的一个法向量，，

由（1）知平面，是平面的一个法向量，且，

∴，

因此，平面与平面所成锐二面角的大小等于；

法二：过引直线，使得，则，

平面，平面，就是平面与平面所成二面角的棱．

由条件知，，，已知，则平面．

由作法知，则平面，所以，，

就是平面与平面所成锐二面角的平面角．

在中，，平面与平面所成锐二面角的大小等于．

4．已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（1）求证：BD⊥AE

（2）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.

连结AC，∵ABCD是正方形， ∴BD⊥AC.

∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥PC.

又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.

∵AE⊂平面PAC. ∴BD⊥AE.

（2）解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.

∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝，AE＝AE＝，

∴Rt△ADE≌Rt△ABE，

从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.

∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角．

在Rt△ADE中，DF＝， ∴.

又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得

cos∠DFB＝，

∴∠DFB＝，即二面角D－AE－B的大小为

解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D（1,0,0），A（1,1,0），B（0,1,0），E（0,0,1），

从而＝（0,1,0），＝（－1,0,1），＝（1,0,0），＝（0，－1,1）．[Z#x设平面ADE和平面ABE的法向量分别为，

由，取

由，取

设二面角D－AE－B的平面角为θ，则，

∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为

5．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求证：

（1）平面；

（2）平面平面；

（3）二面角的平面角的大小.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】（1），.

.

同理可证.

平面.

（2）由（1）知平面，平面，.

∵四边形是正方形，.

又，平面.

又平面，∴平面平面.

（3）由（1）知平面，平面，.

又，平面.

平面，.

为二面角的平面角.

在中，.

∴二面角的平面角的大小为45°.

6．如图所示，在棱台中，平面，，

（1）求证：；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接，设，

因为，，所以，

又，所以四边形是平行四边形，则，

在底面中，且，

所以，又由，可得，

又由，所以，所以，

因为平面，所以，同理可得，

在直角中，可得，所以，

在直角中，可得，所以，

所以，所以，

所以；

（2）在直角梯形中，由，可得，

又，所以平面，

故为在平面内的射影三角形，

设，则，，

设二面角的平面角为，则，

又因为二面角为锐二面角，所以.

7．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）证明：连接，

∵底面，底面,∴.

∵四边形是菱形，∴.

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴.

（Ⅱ）作，交的延长线于，连接.

由于，于是平面，

平面，，

所以二面角的平面角是.

设“”，

且底面是菱形，

，

，，

∴.

8．如图，四边形ABCD是棱长为2的正方形．E为AD的中点，以CE为折痕把折起，使点D到达点P的位置，且点P的射影O落在线段AC上．

（1）求；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）如图，点P的射影O落在线段AC上，PO⊥平面ABC，过点P作交CE于点F，连接FO，则，

由已知条件，在中，，，则， ，

在中，．

在中，，

在中，，，．

（2）由（1）知为二面角的平面角，又，在中，．

9．已知斜三棱柱的棱长都是，侧棱与底面成60°角，侧面底面.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析（2）45°

【解析】（1）如图，作于点，连接.

∵平面底面，

平面，

为在底面上的射影，

，，

∴点为的中点.

是正三角形，

.

，

平面，

.

（2）是平面与平面的一个交点，

∴平面与平面有且仅有一条过点的交线，设为，如图.

∵平面平面，

∴由两平面平行的性质，知，又，

由（1）知平面，平面.

为所求锐二面角的平面角，

.

故平面与平面所成的锐二面角为45°.

10．已知四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,,,又平面,且,点在棱上且.

（1）求证:;

（2）求与平面所成角的正弦值;

（3）求二面角的大小.

【答案】（1）答案见解析（2）（3）

【解析】（1）取中点为,连接

,

底面是直角梯形,

∥,即∥

又

四边形是平行四边形

可得,中点为,

根据直角三角形性质可得:为直角三角形,且

又平面

平面

平面

（2）由（1）可得:平面

为与平面所成角

为直角三角形,,

又 ,

为等腰直角三角形

在中,

与平面所成角的正弦值.

（3）连结,交于点,,如图:

平面,

平面平面,

平面

过作于点,连结,则,

为二面角的平面角,

在中,

在中,

在中,

二面角的大小为.

1．如图，在等腰三角形与中，，平面平面，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由于在等腰三角形与中，，平面平面，根据面面垂直的性质定理可知平面，平面，所以.依题意设，由于是等腰直角三角形斜边的中点，所以.设异面直线与所成的角为，则，由于，所以.故选：B

2．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（ ）

A．B．C．-D．

【答案】D

【解析】直三棱柱中，，，为的中点．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，2，，，0，，，0，，

，2，，，0，，

设异面直线与所成角为，

则．

异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

3．已知直三棱柱，，，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系.

故，，，，故，.

，即与夹角的余弦值为.

故选：.

4．如图所示，四棱锥中，，，，，点分别为的中点．

（1）证明：平面∥平面；

（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）如图，因为分别为的中点，所以，平面，∴平面；

又，，所以为正三角形，

又，，所以，，

又，所以，∴平面

因为，

所以平面平面．

（2）如图，取中点，连结，

因为，，

所以为正三角形，所以，

又因为为等腰三角形，所以，

所以三点共线，所以，

因为，所以，，，

所以，所以，，

又，所以，

所以，又，所以平面．

以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，

，，

设异面直线与所成角为，

所以．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

【题组二 线面角】

1．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下图．

（Ⅰ）求证：A1OBD；

（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；

【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）因为，分别为中点，

故可得，故为等腰三角形，又为中点，

故可得，又因为平面A1DE平面BCED，且交线为，

又平面，故平面，又平面，

故.即证.

（Ⅱ）过作，由（Ⅰ）可知平面，

又平面，故可得，

又因为//，故可得.

综上所述：两两垂直，

故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

如下图所示：

故可得，

则

设平面的法向量为，

故可得，即，

取，可得.故.

又，

故可得.

设直线A1C和平面A1BD所成角为，

故可得.

则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为.

2．如图1，在中， ， 分别为， 的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.

（1）求证：；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接.图1中，，， 分别为， 的中点，，

即，又为的中点，.

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，又平面，

.

（2）取中点，连接，则.

由（1）可知平面，平面.

以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示

，，.

，

.

设平面的法向量为，

则，即，令，则，.

设直线和平面所成的角为，则

，

所以直线和平面所成角的正弦值为.

3．在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.

（1）当时，求证：；

（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】（1）当时，点是的中点.

∴，.

∵，∴.

∵，，，

∴.

∴.

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

∵平面，∴.

（2）以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.

则，，.

取的中点，

∵，∴，

∴ 易证得平面，

∵，∴，∴.

∴，，.

设平面的一个法向量为，

则

令，则.

设与平面所成的角为，

则

，

解得或（舍去）

∴存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时.

4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA1，BC的中点．

（1）证明：AE//平面BDC1；

（2）若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为．求DE与平面BDC1所成角的正弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】（1）证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，

∵E为BC中点，

∴∥，

又∵D为AA1的中点，

∥，，

∴∥，

∴四边形ADFE为平行四边形，

∴AE∥DF，

∵AE平面BDC1，DF平面BDC1，

∴AE∥平面BDC1；

（2）由（1）及题设可知，BC，EA，EF两两互相垂直，则以点E为坐标原点，EC，EA，

EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AA1＝2t（t＞0），则，

所以，

故

解得，

设平面BDC1的法向量为

由，得，

令，则，

又，

所以，

设DE与平面BDC1所成角为，

则，

∴DE与平面BDC1所成角的正弦值为.

5．如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点，与相交于点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】Ⅰ）

由已知平面，可得，，

由题意得，为直角梯形，如图所示，

，所以为平行四边形，

所以，所以.

又因为，且，

所以面，

故.

在直角梯形中，，

因为面，所以，

所以为等腰直角三角形，为斜边上的中点，

所以.且，

所以平面

（Ⅱ）法一：以为原点，分别以为轴，轴，轴的建立直角坐标系.

不妨设

，，，，

设是平面的法向量.

满足 ，

所以 ，

则令 ，解得

法二：（等体积法求到平面的距离）

设，计算可得

， ， ，

，

解得

【题组三 二面角】

1．如图，平行四边形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，且，为中点．

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值．

【答案】（1）（2）

【解析】

在中，，

所以

所以，所以

又因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面

如图，建立空间直角坐标系，则

（1）

设异面直线与所成的角为，则

所以异面直线与所成的角为；

（2）是平面的一个法向量，

设平面的一个法向量，

则，

得，取，则，

故是平面的一个法向量，

设平面与平面所成的二面角（锐角）为，

则．

2．如图，梯形中，，，，、分别是，的中点，现将沿翻折到位置，使

（1）证明：面；

（2）求二面角的平面角的正切值；

（3）求与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）梯形中，，，，、分别是，的中点，

，四边形为平行四边形，，，，

所以四边形为正方形，，折叠后，，

，，在三角形中，，

所以，

是平面内两条相交直线，

所以面；

（2）两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则

，设平面的法向量为

则，解得，令，取

由（1）可知，面，取平面的法向量

，

根据图形，二面角的平面角的余弦值为

所以二面角的平面角的正切值为；

（3），由（2）可得平面的法向量

设直线与平面所成的角为，

.

所以与平面所成的角的正弦值.

3．如图四棱柱中，，，，M为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若四边形是菱形，且面面，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取的中点N，连接，，

∵M为的中点，∴且

又， ，所以且，

所以四边形是平行四边形，

从而，又平面，平面，

所以平面.

（2）取的中点P，连接，，

∵四边形为菱形，又，易知.

又面面，面面，

∴平面，

故，，两两垂直

以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），不妨设.

则，，，，，，

，，

设平面的法向量为，

由，得，

可得平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

由，得，

可得平面的一个法向量.

∴

所以二面角的余弦值为.

4．已知平行四边形中，，平面平面，三角形为等边三角形，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若平面

①求异面直线与所成角的余弦值；

②求二面角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①；②.

【解析】（Ⅰ）

平行四边形中

∵，，

由余弦定理可得，

由勾股定理可得，

如图，以为原点建立空间直角坐标系

∴，，，，

∴，，

∴，，∴，．

又，∴平面．

又∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）∵，∴设

∴，．

∵平面，∴，∴，∴．

∴．

①，

∴

∴异面直线与所成角的余弦值为．

②设为平面的法向量，则

可得，

设为平面的法向量，则

可得，

∴，

∴二面角的正弦值为．

5．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.

【答案】(1) (2)

【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．

（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．

因为．

设平面的法向量为，则，

即，令，解得．

所以是平面的一个法向量，从而，

所以平面与平面所成二面角的余弦值为．

（2） 因为，设，

又，则，

又，

从而，

设，

则，

当且仅当，即时，的最大值为．

因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．

又因为，所以．

6．如图，在三棱锥S一ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O为BC的中点

（1）求证：SO⊥平面ABC

（2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B—SC－E的平面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，试说明理由

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）∵，O为BC的中点，∴，

设，则，，，

∴，∴，

又∵，∴平面ABC．

（2）以O为原点，以OA所在射线为x轴正半轴，以OB所在射线为y轴正半轴，

以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．

则有，，，，．

假设存在点E满足条件，设，

则，

则．

设平面SCE的法向量为，

由，得，故可取．

易得平面SBC的一个法向量为．

所以，，解得或（舍）．

所以，当时，二面角的余弦值为．

7．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）平面平面，

平面平面 ，

，，

直线平面.

由题意，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，

则可得：，

.

依题意，易证：是平面的一个法向量，

又， ，

又直线平面， .

（2） .

设为平面的法向量，

则，即.

不妨设，可得.

设为平面的法向量，

又 ，

则，即.

不妨设，可得，

，

又二面角为钝二面角，

二面角的大小为.

（3）设，则，又，

又，即，

，解得或（舍去）.

故所求线段的长为.