基本公式
柱体：
$$
V=S_{\text{底}}h.
$$
锥体：
$$
V=\frac13 S_{\text{底}}h.
$$
台体：
$$
V=\frac13 h(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2).
$$
球：
$$
S=4\pi R^2,\qquad V=\frac43\pi R^3.
$$
圆柱、圆锥、圆台可以看作柱、锥、台的特殊情况。
等体积法
等体积法的核心是：同一个几何体，从不同的底面看，体积不变。
例如四面体 $A-BCD$：
$$
V_{A-BCD}
=\frac13 S_{\triangle BCD}\cdot h_A
=\frac13 S_{\triangle ABC}\cdot h_D.
$$
如果一个高度不好求，可以换一个底面，把“难高”换成“易高”。点到平面的距离题经常用这个思想。
体积题的三个入口
- 直接公式：底面面积和高都明显。
- 等体积：某个点到某个面的距离难求，换底求高。
- 割补法：把不规则几何体切成几个熟悉体，或补成柱、锥、正方体。
表面积题的三个入口
- 展开侧面，变成平面图形。
- 分面计算，注意同一个面不要重复。
- 组合体先判断外表面，内部贴合面不计入表面积。
常见错误
- 把斜高当高。锥体体积中的高必须垂直于底面。
- 忘记锥体体积有 $\frac13$。
- 等体积换底时，底面面积换了，高也必须换成到新底面的距离。
- 组合体表面积把内部接触面也算进去了。
训练题
- 正四棱锥底面边长为 $6$，高为 $4$，求体积。
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底面面积为 $36$，所以
$$
V=\frac13\cdot36\cdot4=48.
$$
- 长方体长、宽、高分别为 $3,4,12$，求体对角线长度。
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体对角线为
$$
d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13.
$$
这个量在外接球问题中也常出现。
- 三棱锥 $A-BCD$ 中，$S_{\triangle BCD}=12$，点 $A$ 到平面 $BCD$ 的距离为 $5$，求体积。
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$$
V=\frac13\cdot 12\cdot5=20.
$$
- 四面体 $A-BCD$ 的体积为 $18$，$S_{\triangle ABC}=9$，求点 $D$ 到平面 $ABC$ 的距离。
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由
$$
18=\frac13\cdot9\cdot h
$$
得 $h=6$。
- 一个正方体棱长为 $2$，求它的表面积和体积。
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表面积 $S=6\cdot2^2=24$，体积 $V=2^3=8$。
讲题追问
计算体积之前先问：我的底面是哪一个面？高是否真的垂直这个底面？如果这两句话说不清，公式就不能下笔。