空间角的几何法

异面直线所成角

定义：把两条异面直线平移到同一点，所得两条相交直线的锐角或直角，就是异面直线所成角。

操作方法：

1. 找一条线的平行线，使两条线相交。
2. 把空间角放进一个三角形。
3. 用解三角形、余弦定理或特殊三角形求角。

直线与平面所成角

定义：直线与它在平面内的射影所成的锐角，叫直线与平面所成角。

操作方法：

1. 从直线上的一点向平面作垂线，得到垂足。
2. 连接垂足与直线和平面的交点，得到射影。
3. 所求角在“直线、垂线、射影”组成的直角三角形中。

二面角

定义：从一条直线出发的两个半平面组成二面角。这条公共直线叫棱。

求二面角的平面角，常用两种方法：

1. 在两个半平面内分别作垂直于棱的线，二者夹角就是二面角的平面角。
2. 过棱上一点作一个垂直于棱的平面，该平面截两个半平面得到两条线，二者夹角就是平面角。

常见辅助线

1. 求异面直线角：作平行线。
2. 求线面角：作垂线、找射影。
3. 求二面角：作垂直棱的线，或作垂直于棱的截面。
4. 如果图形有中点、正方形、等边三角形，优先利用它们产生特殊角。

训练题

1. 正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求 $AB$ 与 $CC_1$ 所成角。

1. 正方体中，求 $A_1B$ 与平面 $ABCD$ 所成角。

1. 正四棱锥 $P-ABCD$ 中，$O$ 为底面中心。求侧棱 $PA$ 与底面所成角应在哪个三角形中找？

1. 已知二面角 $\alpha-l-\beta$，在 $\alpha$ 内作 $a\perp l$，在 $\beta$ 内作 $b\perp l$，且 $a,b$ 都过棱上一点 $O$。说明 $\angle(a,b)$ 与二面角的关系。

1. 在正方体中，若要求平面 $A_1BD$ 与平面 $ABCD$ 的二面角，应该优先找哪条棱？

讲题追问

空间角题必须问：这个角最后落在哪一个平面图形里？如果学生不能指出那个三角形或截面，说明还没有真正找到角。