点到平面距离
平面 $\alpha$ 过点 $P_0$，法向量为 $\mathbf n$。点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为
$$
d=\frac{|\overrightarrow{P_0P}\cdot\mathbf n|}{|\mathbf n|}.
$$
这个公式的意义是：把向量 $\overrightarrow{P_0P}$ 投影到法向量方向上。
点到直线距离
直线 $l$ 过点 $A$，方向向量为 $\mathbf u$。点 $P$ 到直线 $l$ 的距离可以这样求：
- 设垂足 $H=A+t\mathbf u$。
- 利用 $\overrightarrow{PH}\perp\mathbf u$ 列方程。
- 求出 $t$ 后算 $PH$。
如果允许使用向量叉乘，也可用
$$
d=\frac{|\overrightarrow{AP}\times\mathbf u|}{|\mathbf u|}.
$$
高中课堂上优先掌握“设垂足 + 内积为 0”的方法，因为它更能解释为什么是最短距离。
线面距离与面面距离
如果直线 $l\parallel\alpha$，那么直线到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离。
如果平面 $\alpha\parallel\beta$，那么两个平面之间的距离等于一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
所以真正需要熟练的是点到平面距离。
异面直线距离
异面直线距离是两条异面直线公垂线段的长度。
常见做法：
- 几何法：找到同时垂直两条异面直线的线段。
- 向量法：设两条直线上动点 $P=A+s\mathbf u$，$Q=B+t\mathbf v$，令 $\overrightarrow{PQ}$ 同时垂直 $\mathbf u,\mathbf v$，解 $s,t$。
如果允许使用混合积公式，两条异面直线距离为
$$
d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)|}{|\mathbf u\times\mathbf v|}.
$$
但考试讲解时更建议先用“公垂线段”理解，再记公式。
训练题
- 平面 $\alpha$ 过原点，法向量为 $(0,0,1)$。求点 $P(2,3,5)$ 到平面 $\alpha$ 的距离。
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该平面是 $z=0$，距离为 $|5|=5$。用公式也得
$$
d=\frac{|(2,3,5)\cdot(0,0,1)|}{1}=5.
$$
- 平面过点 $A(1,0,0)$，法向量为 $(1,1,1)$。求点 $P(2,2,2)$ 到该平面的距离。
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$$
\overrightarrow{AP}=(1,2,2).
$$
所以
$$
d=\frac{|1+2+2|}{\sqrt3}=\frac5{\sqrt3}.
$$
- 直线 $l$ 过 $A(0,0,0)$，方向向量为 $(1,0,0)$。求点 $P(0,3,4)$ 到直线 $l$ 的距离。
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直线是 $x$ 轴，点到 $x$ 轴的距离为
$$
\sqrt{3^2+4^2}=5.
$$
- 若直线 $l\parallel$ 平面 $\alpha$，且 $A\in l$，点 $A$ 到 $\alpha$ 的距离为 $3$，求 $l$ 到 $\alpha$ 的距离。
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直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等，所以距离为 $3$。
- 两平面 $\alpha\parallel\beta$，点 $A\in\alpha$ 到 $\beta$ 的距离为 $6$，求两平面距离。
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平行平面距离等于一个平面上任意一点到另一个平面的距离，所以为 $6$。
讲题追问
距离题先让学生说：哪一段线段才是“最短”的？如果不能说出垂直方向，就不要急着代公式。