线线角
若直线 $l_1,l_2$ 的方向向量分别为 $\mathbf u,\mathbf v$，则两直线所成角 $\theta$ 满足
$$
\cos\theta=\frac{|\mathbf u\cdot\mathbf v|}{|\mathbf u||\mathbf v|}.
$$
这里取绝对值，是因为高中通常求的是锐角或直角。
线面角
若直线 $l$ 的方向向量为 $\mathbf u$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\mathbf n$，直线与平面所成角为 $\theta$，则
$$
\sin\theta=\frac{|\mathbf u\cdot\mathbf n|}{|\mathbf u||\mathbf n|}.
$$
为什么是正弦？因为 $\mathbf u$ 与法向量 $\mathbf n$ 的夹角和线面角互余。
二面角
若两个平面的法向量分别为 $\mathbf n_1,\mathbf n_2$，则二面角的平面角与两个法向量夹角相等或互补。
常用公式：
$$
\cos\theta=\frac{|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|}{|\mathbf n_1||\mathbf n_2|}.
$$
如果题目要求的是锐二面角，取绝对值即可；如果题目明确要钝角，需要结合图形判断是否取补角。
选择向量的规则
- 求两条线的角：取两条线的方向向量。
- 求直线和平面的角：取直线方向向量和平面法向量，用正弦。
- 求两个平面的角：取两个平面的法向量，用余弦，再判断锐钝。
易错点
- 线面角公式用的是正弦，不是余弦。
- 二面角不一定等于两个法向量的锐角，需要看题目要求。
- 法向量可以反向，所以结果通常要取绝对值。
- 没有先确认方向向量或法向量是否正确，就直接套公式。
训练题
- 直线 $l_1,l_2$ 的方向向量分别为 $(1,1,0)$ 与 $(1,0,1)$，求两直线所成角。
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内积为 $1$，两个向量模长均为 $\sqrt2$，所以
$$
\cos\theta=\frac{1}{2}.
$$
故 $\theta=60^\circ$。
- 直线方向向量为 $\mathbf u=(1,1,1)$，平面法向量为 $\mathbf n=(0,0,1)$，求线面角。
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$$
\sin\theta=\frac{|1|}{\sqrt3\cdot1}=\frac1{\sqrt3}.
$$
所以 $\theta=\arcsin\frac1{\sqrt3}$。
- 两个平面的法向量分别为 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,0)$，求二面角。
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两个法向量垂直，所以两个平面也互相垂直，二面角为 $90^\circ$。
- 两个平面的法向量分别为 $(1,1,0)$ 与 $(1,-1,0)$，求它们所成锐二面角。
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内积为 $0$，所以锐二面角为 $90^\circ$。
- 若直线方向向量 $\mathbf u$ 与平面法向量 $\mathbf n$ 平行，则直线与平面的位置关系是什么？
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方向向量平行于法向量，说明直线垂直于平面。线面角为 $90^\circ$。
讲题追问
每次套公式前先问学生：我现在使用的是方向向量还是法向量？这个问题能防止大部分线面角和二面角公式混用。