基本思想
若一个球经过多面体的所有顶点，这个球叫该多面体的外接球。球心 $O$ 满足
$$
OA=OB=OC=\cdots=R.
$$
所以外接球题不是先背半径公式，而是先找“等距中心”。
常见模型
长方体或正方体：
$$
R=\frac12\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
$$
因为外接球球心是体对角线中点，半径是体对角线的一半。
直棱柱：
如果底面外接圆半径为 $r$，高为 $h$，则
$$
R^2=r^2+\left(\frac h2\right)^2.
$$
这是因为球心在上下底面外接圆圆心连线的中点。
正棱锥：
球心在高所在直线上。若底面外接圆半径为 $r$，高为 $h$，设球心到底面的距离为 $x$，则
$$
R^2=r^2+x^2=(h-x)^2.
$$
由此可解出 $x$ 和 $R$。
直角三角形模型：
直角三角形的外接圆圆心是斜边中点。若某个截面或底面是直角三角形，这个性质常常能快速定位圆心。
解题流程
- 判断几何体是否能放进长方体、直棱柱、正棱锥或直角模型。
- 找底面外接圆圆心或体对角线中点。
- 判断球心所在直线。
- 利用到各顶点距离相等列方程。
- 求半径后再求表面积或体积。
常见错误
- 把底面外接圆半径当成外接球半径。
- 正棱锥外接球球心不一定在底面上，而是在高上。
- 只让球经过了部分顶点，没有验证所有顶点等距。
- 忽略“补成长方体”的可能性。
训练题
- 长方体三条棱长为 $3,4,12$，求外接球半径。
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体对角线长为 $13$，外接球半径为体对角线一半，所以 $R=\frac{13}{2}$。
- 正方体棱长为 $2$，求外接球表面积。
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外接球半径
$$
R=\frac12\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt3.
$$
所以表面积
$$
S=4\pi R^2=12\pi.
$$
- 直三棱柱高为 $6$，底面外接圆半径为 $4$，求外接球半径。
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$$
R^2=4^2+3^2=25,
$$
所以 $R=5$。
- 正四棱锥底面边长为 $2$，高为 $2$，求外接球半径。
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底面外接圆半径 $r=\sqrt2$。设球心到底面距离为 $x$，则
$$
R^2=x^2+2=(2-x)^2.
$$
解得 $x=\frac12$，所以
$$
R^2=\frac14+2=\frac94,\quad R=\frac32.
$$
- 一个三棱锥的四个顶点都在同一个长方体的顶点上，求外接球时应优先考虑什么？
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优先考虑把三棱锥补成长方体。若四个顶点属于同一个长方体的顶点，则该三棱锥的外接球通常就是长方体的外接球。
讲题追问
每道外接球题都让学生回答：球心为什么在这里？它到哪些顶点的距离相等？这比直接背模型更重要。