解析几何与圆锥曲线：考点 40-46 全量本地题库

1．直线的倾斜角为 。

【答案】

【解析】由直线，得直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，由，得．

2．直线与直线的夹角为______________.

【答案】

【解析】由直线与直线的方程可知，

两直线的斜率分别为：，∴，∴,∴两直线的夹角为.

故答案为：.

3．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______．

【答案】

【解析】如图所示：

设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为，

则，，，

所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：,

所以倾斜角的取值范围.故答案为：.

【题组二 直线方程】

1．过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）

A．1条B．2条C．3条D．4条

【答案】B

【解析】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为0，在两坐标轴上的截距相等；

若直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a，由，代入点（1，2）的坐标可得：a＝3，∴满足条件的直线有两条，故选B．

2．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题知：，由得；由得，.

因为在坐标轴上的截距相等，所以，解得或.

所以直线在坐标轴上截距相等”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

【题组三 直线的位置关系】

1．设a∈R，则“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行”的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当a＝3时，两直线的方程分别为和，此时两条直线平行成立；

反之，当两直线平行时，有且，解得或，

而当时，两条直线都为，重合，舍去，所以，

所以“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行”的充要条件，故选：C

2．已知m为实数，直线，，若，则实数m的值( )

A．2B．1C．1或2D．0或

【答案】B

【解析】当时，两直线方程分别为和，不满足条件．

当时，则，，

由得得或，

由得，则，故选：B

3．已知直线，直线，且∥，若均为正数，则的最小值是（ ）

A．B．C．8D．24

【答案】A

【解析】因为直线，直线，且∥，

所以，即，

因为均为正数，所以，

，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：A

4．是“直线与直线相互垂直”的（ ）.

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】对于：直线与直线，

当时，分别化为：，，此时两条直线不垂直，舍去；

当时，分别化为：，，此时两条直线相互垂直，因此满足条件；

当，0时，两条直线的斜率分别为：，，由于两条直线垂直，可得，解得或（舍去）．

综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：或．

是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件．故选：．

【题组四 距离问题】

1．直线与直线之间的距离是______．

【答案】

【解析】直线与直线之间的距离．

故答案为：

2．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】将直线4x＋4y＋1＝0平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，

由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，

∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1⇒x0＝或x0＝－1(舍去)，

∴P，所求的最短距离即为点P

到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝＝(1＋ln 2)．故选B.

【题组五 定点问题】

1．方程所确定的直线必经过的定点坐标是 ．

【答案】（0，3）

【解析】方程kx+y﹣3＝0所确定的直线必经过的定点坐标满足，解得，故定点坐标为（0，3），故答案为 ：（0，3）．

2．对任意实数，直线恒过定点，则该定点的坐标为_________

【答案】

【解析】化为，方程表示过点斜率为的直线方程，所以直线过定点.故答案为:.

【题组六 对称问题】

1．点关于直线对称的点´的坐标是

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设点，则线段的中点为，

又点在直线上，

所以 因为直线，，所以 .联立，解得，.故选C.

点睛：本题考查对称问题，得出中点在直线且连线与已知直线垂直是解决问题的关键，属中2．点关于直线对称点的坐标是________．

【答案】

【解析】直线的斜率为，设，则线段的中点坐标为，直线的斜率为，由于关于直线的对称点是，所以

，解得.所以的坐标是.

故答案为：

3．直线关于点对称的直线的方程为_________.

【答案】

【解析】设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为

根据坐标中点公式可得：

解得：①

点在直线

②

将①代入②可得：

整理可得：.

故答案为：.

4．已知直线，点.求：

（1）直线关于点对称的直线的方程；

（2）直线关于直线的对称直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设为上任意一点，

则关于点的对称点为，

在直线上，，

即.

（2）在直线上取一点，如，

则关于直线的对称点必在上.

设对称点为，则

解得.

设与的交点为，则由

得.

又经过点，

由两点式得直线方程为.

5．圆关于直线对称的圆的标准方程为__．

【答案】

【解析】：圆的圆心为原点，半径为1，

已知圆关于直线对称的圆半径为1，圆心为原点关于对称的点，

则，解得，∴．

因此，所求圆的标准方程为．故答案为:．

1．圆心为，且与x轴相切的圆的标准方程为 。

【答案】

【解析】因为圆心为，圆与x轴相切，所以圆的半径为2，

所以圆的标准方程为，

2．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．

【答案】x2+y2﹣6x﹣6y+8=0

【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有

②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6

代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8

代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6

∴D=﹣6，E=﹣6，F=8∴圆的方程是x2+y2﹣6x﹣6y+8=0

3．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的负半轴上，则该圆的标准方程为_____.

【答案】

【解析】因为圆心在轴的负半轴上，且圆经过椭圆的三个顶点，

所以该圆过椭圆的左顶点，右顶点和下顶点.设圆心坐标为， ，半径为，

所以 ，所以圆的标准方程为.

故答案为

4．经过二次函数与坐标轴的三个交点的圆的方程为__________.

【答案】

【解析】令，则；令，则或，

所以二次函数与坐标轴的三个交点为、、，

设圆的方程为，

则，解得，所以圆的方程为.

故答案为：.

5．已知圆圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为_____.

【答案】

【解析】圆的标准方程为，则点，

线段的中点为，且，

因此，以为直径的圆的标准方程为.

故答案为：.

6．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据题意，方程表示一个圆，

则有，解的，即的取值范围为；故答案为：．

【题组二 点与圆的位置关系】

1．点在圆外，则实数的取值范围是__________

【答案】，

【解析】因为方程表示圆，

所以，

得，解得．

因为点在圆外，

所以，

即，解得或．

综上，实数的取值范围是，．

故答案为：，．

2．过点作直线的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】由直线化为，

令，解得，所以直线过定点，因为为垂足，所以为直角三角形，斜边为，所以在以为直径的圆上运动，由点可知以为直径的圆圆心为，半径为，

则的取值范围，又因为，

所以的取值范围是.故答案为：.

3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】直线，即，

由，求得，直线经过定点．

由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，

可得圆心为PQ的中点，半径为，

则与M的最大值为，

则与M的最小值为，

故MN的范围为：，故选：B．

【题组三 直线与圆】

1．圆与直线的位置关系为（ ）

A．相离B．相切C．相交D．不确定

【答案】B

【解析】因为圆，圆心坐标为，，

则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切

故选：B

2．“”是“直线与圆相切”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为直线与圆相切，所以.

所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.

故选A

3．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意得圆心为，半径为．圆心到直线的距离为，

由直线与圆有公共点可得，即，解得．

∴实数a取值范围是．选C．

4．直线与圆的位置关系是( )

A．相离B．相切C．相交D．相交不过圆心

【答案】C

【解析】直线的方程可变为，

可知该直线恒过点，

又，所以点在圆的内部，

所以直线与圆的位置关系是相交.

当时，直线方程为，过圆心.故选：C.

5．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）．

A．相切B．相交C．相离D．不确定

【答案】B

【解析】点在圆外，，

圆心到直线距离，直线与圆相交.故选B.

6．圆上到直线的距离为的点共有( )

A．个B．个C．个D．个

【答案】C

【解析】圆可变为，

圆心为，半径为，圆心到直线的距离，

圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.

7．过点作圆的切线，则切线条数为（ ）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【解析】因为,故点在圆上.

所以过点作圆的切线仅有一条.故选：B

8．若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ）

A．B．C．5D．7

【答案】B

【解析】由题得圆的方程可以化为，所以圆心为，半径为，

因为直线被圆截得的弦长为，

所以直线经过圆心，

所以，即，

所以，

当且仅当时取“=”，所以的最小值为.故选：B.

9．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以

，解得 所以相交的概率,故选C.

【题组四 圆与圆】

1. 圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是 (　　)

A．内切B．外离

C．内含D．相交

【答案】A

【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，故两圆内切，

故选A.

2．已知圆与圆外切，则点与圆的位置关系是（ ）

A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不能确定

【答案】B

【解析】由题可得，，即，显然可知，点在圆上．故选：B．

3．圆与圆的公共弦所在的方程为（ ）

A．x+2y=0B．x－2y=0C．y－2x=0D．y+2x=0

【答案】A

【解析】设两圆交点，

圆①，圆②，

①②得：

因为，，

即A，B点在直线上，

而过A，B点的直线有且只有一条，

所以公共弦所在的方程为，故选：A

4．两圆与的公切线条数为（ ）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】由题意，圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为；

所以，且，所以，

所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线．故选:C．

5．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由圆和圆，

可得圆和的公共弦所在的直线方程为，

联立，解得，即点，

又因为点在直线上，即，

又由原点到直线的距离为，

即的最小值为.故选：C.

【题组六 几何意义运用】

1．已知实数x，y满足方程x2+y2-8x+15=0．则x2+y2最大值为（ ）

A．3B．5C．9D．25

【答案】D

【解析】，即为，

可得上式方程表示以为圆心，1为半径的圆，

表示点与原点的距离的平方，

由圆的性质可得圆上的点与原点的距离的最大值为，

则的最大值为25．故选：D．

2．已知点是圆上的动点.则的最大值为______________.

【答案】

【解析】设即，其中表示动直线的斜率，

因为在圆上，也在动直线上，

故圆心到直线的距离小于或等于半径，

故，解得，

当时，，故的最大值为.故答案为：.

1．设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）

A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段

【答案】D

【解析】当时，由均值不等式的结论有：，当且仅当时等号成立.当时，点的轨迹表示线段,

当时，点的轨迹表示以为焦点的椭圆,本题选择D选项.

2．如图把椭圆的长轴AB分成8等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=" " .

【答案】35

【解析】由已知得，如图，是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知，，，又，∴．故答案为35．

3．椭圆的焦点为F1,F2，点在椭圆上，若，_______；的小大为__________．

【答案】2 ；；

【解析】因为由椭圆的定义，我们可知

4．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于,两点,是椭圆的一个焦点,则的周长的最小值为（ ）

A．12B．14C．16D．18

【答案】D

【解析】如图所示,记椭圆的另一个焦点为 ,

则根据椭圆的对称性知道: ,,

设 ,则,

又因为,,

所以,即,．

所以的周长为故选：D

5．已知椭圆，圆，、分別为椭圆和圆上的点，，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】圆的标准方程为，圆心，半径，

如下图所示，可知点为椭圆的左焦点，设点为椭圆的右焦点，易知点在圆上，

由椭圆的定义可得，

由圆的几何性质可得，

，

当且仅当、、三点共线且点在点的上方时，取得最小值.

故选：D.

【题组二 焦点三角形周长及面积】

1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )

A．2B．6 C．4D．12

【答案】C

【解析】设另一焦点为，由题在BC边上，

所以的周长

故选：C

2．已知椭圆的左，右焦点分别为，若上的点到的距离为，则△的面积为（ ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】依题意知，，，所以，

因为，且，所以，

在△中，，因为，

所以，所以△的面积为.故选：C.

3．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意，，，又，则，

由余弦定理可得.

故.故选：C.

4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是_______

【答案】

【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，

可得△ABC的周长为4a=4，所以，答案为4.

5．若是椭圆的两个焦点，是该椭圆上的一个动点，则的最大值是________.

【答案】4

【解析】由椭圆方程可知，

因为是该椭圆上的一个动点，所以，

因此由基本不等式可得；

（当且仅当时，取等号）.故答案为：4

【题组三 离心率】

1．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于 。

【答案】

【解析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即，

则椭圆的离心率为.

2．已知椭圆的离心率，则的值为 。

【答案】或

【解析】由题意知，

当时，，，，

所以，解得；

当时，，，，所以，解得.

3．已知椭圆()中，成等比数列，则椭圆的离心率为 。

【答案】

【解析】∵成等比数列，∴，

∴，∴，

∴，又，∴，

4．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是 。

【答案】

【解析】因为的椭圆上一点，且恒成立，

不妨设点P为上顶点，如图所示：

因为为为重心，所以，

而，即，所以，所以，所以，

即，解得.

5．设椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 。

【答案】

【解析】∵|PF2|＝|F1F2|，∴|PF2|＝2c，则|PF1|＝2a﹣2c．

∵3|PF1|＝4|QF1|，∴|QF1|，

则|QF2|＝2a=．

在等腰△PF1F2中，可得cos∠PF1F2．

在△QF1F2中，由余弦定理可得：

cos∠QF1F2=，

由cos∠PF1F2+cos∠QF1F2＝0，

得0，整理得：，∴.

6．过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是 。

【答案】

【解析】设，，

由直线的斜率为可得，

由线段的中点为可得，，

由点在椭圆上可得，作差得，

所以，即，

所以，

所以该椭圆的离心率.

7．已知椭圆的长轴端点为、，若椭圆上存在一点使，则椭圆离心率的取值范围是 。

【答案】

【解析】

不妨设，

则，，，

所以，，

则，

又，

所以，

因为，所以,

所以当时，取得最大值，

所以当在短轴上时，取得最大值，

因为椭圆上存在一点使，

所以（为短轴顶点），

设，则，

又因为，

所以离心率，

又因为，所以的取值范围为.

8．已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率= 。

【答案】

【解析】椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为

联立直线与椭圆方程

消后，化简可得

因为直线交椭圆于A，B，设

由韦达定理可得

且，可得，代入韦达定理表达式可得

即

化简可得所以

【题组四 标准方程】

1．“－3<m<5”是“方程表示椭圆”的(　　)

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】方程表示椭圆的条件是，即且，故题中应为必要不充分条件，故选B．

2．已知椭圆的两个焦点是，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程是（ ）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由题意，因为椭圆的两个焦点是，，且焦点在轴上，

又因为椭圆过点，，

根据，可得，故椭圆的标准方程为，故选A.

3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）

A．B．C．或 D．以上都不对

【答案】C

【解析】由题意可得：，解得：，

当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，

当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，本题选择C选项.

4．已知椭圆的中点在原点，焦点在坐标轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程为________.

【答案】或.

【解析】由题,,,所以,,则,

当焦点在轴上时,椭圆方程为；当焦点在轴上时,椭圆方程为,

故答案为：或

5．设、为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于、两点，若的面积为的等边三角形，则椭圆的方程为______________.

【答案】

【解析】设椭圆的焦距为，如下图所示：

由于是面积为的等边三角形，则，

得，即是边长为的等边三角形，

该三角形的周长为，可得，

由椭圆的对称性可知，点、关于轴对称，则且轴，

所以，，，，

，则，因此，椭圆的标准方程为.

故答案为：.

6．已知椭圆与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与的短轴长相等，则（ ）

A．，B．，

C．，或，D．，

【答案】D

【解析】因为椭圆与椭圆有相同的长轴，所以.

又因为椭圆的短轴长与的短轴长相等，所以.

故选：D

7．已知圆心为，半径为的圆经过椭圆的三个顶点，则的标准方程为（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由题意可得圆的方程为：，

令，可得，令，可得或3，

由椭圆的焦点在轴上，及椭圆的对称性可得，，

所以椭圆的标准方程：，故选：B．

8．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于，则椭圆C的方程为（ ）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由长轴长是短轴长的2倍，所以，即，

焦距等于，所以，即.

由，解得，，所以椭圆的标准方程：.故选：A

9．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,,

,,，所以方程为，故选A.

【题组五 直线与椭圆的位置关系】

1．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围为 。

【答案】

【解析】直线恒过定点，

直线与椭圆恒有公共点，即点在椭圆内或椭圆上，

，即，又，或．

2．若直线没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为 。

【答案】2个

【解析】直线没有交点，故

点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，则过点的直线与椭圆的交点个数为2个

3．如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是 。

【答案】

【解析】设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），

联立 ，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，

∵过点M（-2，0）的直线l与椭圆有公共点，

∴△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）≥0，

整理，得k2≤ 解得 ∴直线l的斜率k的取值范围是

4．已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是 。

【答案】

【解析】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，

则，，.

又因为A，B在椭圆C上，所以，，

两式相减可得，即.

又点M在l上，故，解得，.

因为点M在椭圆C内部，所以，解得.

【题组六 弦长】

1．过椭圆1的焦点，且倾斜角为135°的直线与椭圆交于A，B两点，则线段AB的长为 。

【答案】

【解析】椭圆1的焦点为（±2，0），

过椭圆1的焦点，且倾斜角为135°的直线交椭圆于两点

不妨设直线过右焦点，则.

联立 ，得，

解得：,

则

2．直线交椭圆于两点，若，则的值为 。

【答案】12

【解析】解法一：由椭圆，则顶点为，

而直线也过，

所以为直线与椭圆的一个交点，设，

则=，

解得：，

所以或（不合，舍去），

把代入椭圆方程得：，故.

解法二：由得，

所以，

又，

所以=，

因为，所以，故.

3．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为 。

【答案】

【解析】解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，

由题意得△＝（2t）2﹣5（t2﹣1）＞0，即t2＜5．弦长|AB|＝4．

4．椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为 。

【答案】

【解析】设以点为中点的弦所在直线斜率为，则直线的方程为，即，

由得，

设所求直线与椭圆交于，，所以，

所以，解得．

5．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是 。

【答案】

【解析】设，，

又点，在椭圆上，

则，，

两式相减可得：，

又， 则，

又点，在椭圆内，则，则，所以，

6．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为 。

【答案】

【解析】设弦的两端点为，，，，为中点，，在椭圆上，，，两式相减得：，

，，可得：，

则，且过点，有，整理得．

7．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则 。

【答案】

【解析】设，，的中点，

则，.

因为，两点在椭圆上，所以，.

两式相减得：，

，

，，

即，解得.

1．已知双曲线上有一点M到右焦点的距离为18，则点M到左焦点的距离是 。

【答案】8或28

【解析】双曲线的，，

由双曲线的定义得，

即为，解得或28.

检验若在左支上，可得，成立；

若在右支上，可得，成立.

2．设双曲线（）的焦距为12，则 。

【答案】2

【解析】因为可化为，所以，则.

【题组二 焦点三角形】

1．已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则 。

【答案】16

【解析】依题意，.

在三角形中， ，由正弦定理得，

即，由于为锐角，所以.

根据双曲线的定义得.

在三角形中，由余弦定理得，

即，

即，

即，所以.

2．设F1，F2是双曲线－y2＝1的左右焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2面积为1时，·的值为 。

【答案】0

【解析】因为双曲线方程为：－y2＝1

故两焦点的坐标为：

当△F1PF2面积为1时，不妨设点的坐标为

故

不妨取，将代入双曲线方程可得：

不妨取，则

3．已知双曲线的离心率为，左右焦点分别为，直线与的一条渐近线垂直，垂足为若三角形的面积为.则 。

【答案】

【解析】由双曲线的离心率为

由，可得.

所以双曲线的渐近线为 ，即.

由条件设垂直于渐近线，如图.则.

过点作轴，交轴于点.

又在直角三角形中，，

所以,

故面积为，

所以，则,,

4．设经过点的等轴双曲线的焦点为，，此双曲线上一点满足，则的面积为 。

【答案】8

【解析】设等轴双曲线方程为,将点代入可得,

∴双曲线标准方程为,

∴,,

又,所以

∴,

即,

∴,∴的面积为,

5．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线上，且，的面积为 。

【答案】

【解析】

在双曲线上,设①

由在根据余弦定理可得:

故

即: ②由①②可得

直角的面积

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点M，使得直线与圆O：相切.则的面积为 。

【答案】

【解析】过O作切线的垂线，垂足为A，过作切线的垂线，垂足为B，则，，设，，，

根据双曲线的定义，，所以，

，

，

.

所以.

【题组三 离心率】

1．已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为 。

【答案】

【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，所以直线的斜率，

设，则①②

由①②得则

因为是弦的中点，

因为直线的斜率为1即

所以，则，

2．在平面直角坐标系中，若双曲线()经过点，则该双曲线的离心率是 。

【答案】

【解析】因为双曲线()经过点，

所以有，解得，即，

所以，所以双曲线的离心率为，

3．若双曲线（，）与直线无公共点，则离心率的取值范围是 。

【答案】

【解析】若双曲线与直线无公共点，

等价为双曲线的渐近线的斜率，即，

即，即，即，则，则，

，离心率满足，即双曲线离心率的取值范围是，

4．已知双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，的C的离心率为 。

【答案】2

【解析】双曲线的一条渐近线方程为，即，被圆所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为，

，解得，

【题组四 渐近线】

1．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为。

【答案】

【解析】由双曲线可知，焦点在轴上，

则双曲线的渐近线方程为：，

由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，∴，

即：，，所以双曲线的渐近线方程为：.

2．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，若中，，则双曲线C的渐近线方程为 。

【答案】

【解析】如图，

过作轴，∵，则，，，

设，又，

，，故双曲线C的渐近线方程为.

3．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.

【答案】.

【解析】由已知得，解得或，

因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.

4已知抛物线的准线与圆相切，双曲线过点，则双曲线C的渐近线方程为________.

【答案】

【解析】由已知条件可知，抛物线的准线为；圆的圆心为，半径为；

又抛物线的准线与圆相切，所以，即；

又双曲线过点；

所以，所以；

所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.

【题组五 标准方程】

1．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为。

【答案】

【解析】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.

2．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 。

【答案】

【解析】双曲线的一条渐近线过点，

可得渐近线的斜率为，

双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，

可得，即，解得，，则双曲线的方程为：．

3．已知双曲线：（，）的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为 。

【答案】

【解析】由题意得，且，，

所以，所以，

所以 ，即，得，

因为，所以解得，

所以双曲线方程为，

4．已知双曲线（，）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 。

【答案】

【解析】曲线的一条渐近线的方程为，即

又椭圆的焦点坐标为，即，

所以，解得，所以双曲线的方程为，

5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为 。

【答案】

【解析】由题可知，，

若，即为，

可得，即有，

由双曲线的定义可知，

可得，

由于过F2的直线斜率为，

所以在等腰三角形中，，

则，

由余弦定理得：，

化简得：，

即，，

可得，，

所以此双曲线的标准方程可能为：.

【题组六 直线与双曲线的位置关系】

1．已知双曲线，过点的直线与有唯一公共点，则直线的方程为 。

【答案】或

【解析】由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线与有唯一公共点，

由于双曲线的渐近线为，故直线的方程为或，

即或．

2．若直线与双曲线的左支交于不同的两点,则实数的取值范围是 。

【答案】

【解析】，整理得

因为直线与双曲线的左支有两个不同的交点，则方程在上有两个不同的根.

需满足解得

所以的范围为

3．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为 。

【答案】

【解析】由得双曲线的渐近线方程为y=±x，

根据图象可得当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，

当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，

把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，

令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=或k=﹣（舍）．

∴1＜k＜时直线与双曲线的右支有2个交点.

4．若直线与双曲线的右支交于不同的两点,则的取值范围为 。

【答案】

【解析】

得，所以.

5．若直线：与双曲线：的右支交于不同的两点、，则实数的取值范围是 。

【答案】

【解析】将直线代入双曲线方程，

并整理得.

依题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，故

，

【题组七 弦长问题】

1．过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则

【答案】

【解析】易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k（x﹣4）

代入双曲线C：，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0

设此方程两实根为，，则又P（4，2）为AB的中点，

所以8，解得k＝1

当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，

所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10

|AB|||•4．

2．点是曲线C：的弦的中点.则直线的方程为 。

【答案】

【解析】设，

点是曲线：的弦的中点，

.

把的坐标代入曲线的方程，可得

，两式相减得，，

即，

，

即直线的斜率为，

所以直线的方程为，即.

3．直线与双曲线相交于、两点，______.

【答案】

【解析】设点、，

联立，消去并整理得，

由韦达定理得，，

由弦长公式得.

故答案为：.

4．已知双曲线的渐进线方程为，且过点

求双曲线的方程；

若直线与双曲线相交于A、B两点，求的值．

【答案】(1)；(2)

【解析】因为双曲线的渐进线方程为，

所以设所求双曲线的方程为：

把代入方程，整理得：，

解得，

所以双曲线的方程为；

由题意可知：设，，

则由整理得：，

由韦达定理得：，

由弦长公式可知：，

的值为.

5．已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．

（1）求双曲线C的方程．

（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．

【答案】（1）x21 （2）y＝4x﹣7，弦长

【解析】（1）由题意得椭圆的焦点为F1（，0），F2（，0），

设双曲线方程为1，a＞0，b＞0，

则c2＝a2+b2＝3，

∵e

∴ca，

解得a2＝1，b2＝2，

∴双曲线方程为x21．

（2）把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入双曲线x12y12＝1，x22y22＝1，

两式相减，得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，

把x1+x2＝4，y1+y2＝2代入，得4（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，

∴kAB4，

∴直线L的方程为y＝4x﹣7，

把y＝4x﹣7代入x21，

消去y得14x2﹣56x+51＝0，

∴x1+x2＝4，x1x2＝ ，k＝4，

∴|AB|•

1．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是 。

【答案】

【解析】抛物线焦点，准线方程为，

设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.

2．若点为抛物线上一点，是抛物线的焦点，，点为直线上的动点，则的最小值为 。

【答案】

【解析】由题意可知，，，由抛物线的定义可知，，

∴，代入抛物线方程，得，不妨取点为，

设点关于的对称点为，则，

∴，

3．抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为 。

【答案】6

【解析】拋物线的焦点为，

圆的圆心为，半径，

F到圆C上点的距离的最大值为.

4．是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为 。

【答案】

【解析】是抛物线的焦点,

,准线方程,

设,

,

,

线段AB的中点横坐标为,

线段AB的中点到y轴的距离为

5．已知定点,为抛物线的焦点,点在该抛物线上移动,当取最小值时,点的坐标为____________.

【答案】

【解析】

由抛物线方程可知焦点，准线方程为，设在抛物线准线方程上射影为，∵点到准线的距离与到焦点距离相等，∴，当，代入抛物线方程求得，∴点抛物线的内部，当，，三点共线时，的值最小，此时，此时的纵坐标为4，，即的坐标为，故答案为.

6．已知点P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，切点为A，则PA的最小值为_________.

【答案】1

【解析】圆的圆心，半径，

由切线的性质可得，

若要使最小，则取最小值，

设，则，

令，则，

易知单调递增，且，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以的最小值为2即的最小值为，

所以.

故答案为：.

【题组二 抛物线的标准方程】

1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则 。

【答案】2

【解析】由抛物线的方程可得其准线方程为，

根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于其到准线的距离，

故，解得，

2．已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上的一点，且，则抛物线的方程是 。

【答案】

【解析】由题意可得，解得，则抛物线的方程是

3．已知抛物线上的一点到此抛物线的焦点的距离为3，则点的纵坐标是 。

【答案】2

【解析】设点，由抛物线，则抛物线的准线为，

点到此抛物线的焦点的距离为3，根据抛物线的定义可得，所以，

【题组三 直线与抛物线的位置关系】

1．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条

【答案】3

【解析】因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，故3条．

2．已知抛物线，直线，则“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】∵

∴化简可得

∵直线与抛物线有两个不同交点

∴，且等价于，且，

“”不能推出“直线l与抛物线C有两个不同交点”，

“直线l与抛物线C有两个不同交点”能推导出

∴“”是“直线与抛物线有两个不同交点”的必要不充分条件

3．过点P(2,2)作抛物线的弦AB,恰好被P平分，则弦AB所在的直线方程是 。

【答案】x-y=0

【解析】由题得直线存在斜率，

设，，，，弦所在直线方程为：，

即，

联立，消去整理得．

不满足题意，

当时，

由题得且，

弦恰好是以为中点，

．

解得．满足

所以直线方程为，

1．（2020·宁波市第四中学）已知抛物线，过定点的动直线与该抛物线交于，.

（1）求，两点的纵坐标之积，并证明；

（2）过作的垂线交该抛物线于，.设线段、的中点分别为、两点.试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1），证明见解析；（2）直线过定点

【解析】（1）设直线为，，

联立直线与抛物线方程得，消元得，所以，

所以，

所以

所以，即

（2）由（1）可得，，所以

设，，因为与垂直，所以，

所以，

所以

所以

所以直线的方程为，整理得，即，令解得

即直线恒过定点

2．（2019·宁夏贺兰县景博中学）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

【答案】x2－=1(y≠0，过点F

【解析】1)设P(x,y)，则

化简得=1(y≠0)

(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)

与双曲线=1联立消去y得

(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0

由题意知3－k2≠0且△＞0

设B(x1,y1),C(x2,y2)，

则

y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]

＝k2(-＋4)

＝

因为x1、x2≠－1

所以直线AB的方程为y＝(x＋1)

因此M点的坐标为()

因此

②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)

AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为，

同理可得因此＝0

综上＝0，即FM⊥FN 故以线段MN为直径的圆经过点F

3．（2020·全国高三课时练习（理））已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

【答案】（1）；（2）证明详见解析.

【解析】（1）依据题意作出如下图象：

由椭圆方程可得：， ，

，

，

椭圆方程为：

（2）证明：设，

则直线的方程为：，即：

联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：

，解得：或

将代入直线可得：

所以点的坐标为.

同理可得：点的坐标为

当时，

直线的方程为：，

整理可得：

整理得：

所以直线过定点．

当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．

【题组二 定值】

1．（2019·福建高三其他（理））已知椭圆的下顶点为点，右焦点为.延长交椭圆于点，且满足.

（1）试求椭圆的标准方程；

（2）分别是椭圆长轴的左右两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.若直线过点，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

（1）解：椭圆的下顶点为，右焦点，设点的坐标为，

∵，可得，又，，

∴，解得，

代入可得，即，得，

又，则，

∴椭圆的标准方程为；

（2）由题意设直线，，

由得，

∴，，

．

2（2020·广西兴宁南宁三）已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由题可知，，，则，

直线的方程为，即，所以，

解得，，

又，所以椭圆的标准方程为.

（2）因为直线与圆相切，

所以，即.

设，，

联立，得，

所以 ，

，，

所以 .

又，所以.

因为 ，

同理.

所以，

所以的周长是，

则的周长为定值.

3．（2020·河南南阳高三二）已知椭圆的右焦点为，点P，M，N为椭圆C上的点，直线MN过坐标原点，直线PM，PN的斜率分别为，，且.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若且直线PF与椭圆的另一个交点为Q，问是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.

【答案】（1）（2）是常数，常数为

【解析】（1）设，则.

由得

即，所以，

∴，又，∴，，

故椭圆C的标准方程为：.

（2）设直线PQ的方程为：.，则直线MN的方程为

由得，

设，则，

，

所以

由，得，

∴

故为常数，得证.

【题组三 定直线】

1．（2020·四川省泸县第四中学高三）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．

（1）求的值；

（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．

【答案】（1）；（2）点在定直线上．

【解析】（1）依题意设直线的方程为，

由已知得：圆的圆心，半径，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，

即，解得或（舍去）．

所以；

（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，

所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，

所以切线的方程为．

令，，即交轴于点坐标为，

所以， ，

，

．

设点坐标为，则，

所以点在定直线上．

2．（2020·江苏海安高级中）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点. 已知椭圆的离心率为，短轴长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）证明：点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；

（3）求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）证明见解析，直线方程为；（3）.

【解析】（1）由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为；

（2）设点，则点，易知点，则且，

直线的斜率为，则直线的方程为，

同理可得直线的方程为，

联立，解得，，

因此，点在一条定直线上，且定直线的方程为；

（3）由（2）知，点的坐标为，，

，

由基本不等式可得，则，

当且仅当时，等号成立，所以，.

因此，面积的最大值为.

1．（2020·浙江椒江台州一中高三期中）如图所示己知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点.且.

（1）求抛物线方程；

（2）若点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）依题意，

即.即.

所以抛物线方程.

(2）设，，则，

设，联立，，

所以可得

因为，，所以·故直线.

由，得，所以，.

所以

设点到直线的距离为，则.

所以 .当且仅当.即

时，直线的方程为：.

时，直线的方程为：

2．（2020·浙江省春晖中学高二月考）已知点在椭圆内，过的直线与椭圆相交于A，B两点，且点是线段AB的中点，O为坐标原点．

（Ⅰ）是否存在实数t，使直线和直线OP的倾斜角互补？若存在，求出的值，若不存在，试说明理由；

（Ⅱ）求面积S的最大值．

【答案】( Ⅰ)存在；(Ⅱ) .

【解析】（Ⅰ）存在.

由题意直线的斜率必存在，设直线的方程

是

代入得：

.（1）

设，，则，即，

解得：，

此时方程（1）即

由解得，，

（或由解得，）

当时，显然不符合题意；

当时，设直线的斜率为，只需，

即，解得，均符合题意.

（Ⅱ）由（1）知的方程是，

所以，

，

因为，所以当时，.

3．（2020·全国高三课时练习（理））过的直线与抛物线交于，两点，以，两点为切点分别作抛物线的切线，，设与交于点.

（1）求；

（2）过，的直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值.

【答案】（1）；

（2）32.

【解析】（1）设，，直线，

所以得，所以

由，所以，

即：，

同理，联立得，

即.

（2）因为，，

所以，

所以，即，

，

同理，

，

当且仅当时，四边形面积的最小值为.

4．（2020·河南高三其他（理））设椭圆：的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.

【答案】（1）；（2）6.

【解析】

(1)因为椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，

所以，，

因为，所以，

所以椭圆C方程为.

(2)设，，

因为直线过点，所以可设直线方程为，

联立方程，消去可得：，

化简整理得，

其中，

，，

因为，所以四边形是平行四边形，

设平面四边形的面积为，

则，

设，则，

所以，

因为，所以，，

所以四边形面积的最大值为6.