坐标基础
两点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 的距离：
$$
AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
$$
中点 $M$：
$$
M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
$$
斜率：
$$
k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad (x_1\ne x_2).
$$
若 $x_1=x_2$，直线垂直于 $x$ 轴，斜率不存在。
直线方程形式
点斜式：
$$
y-y_0=k(x-x_0).
$$
斜截式：
$$
y=kx+b.
$$
两点式：
$$
\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}.
$$
一般式：
$$
Ax+By+C=0.
$$
一般式最稳，因为它能覆盖斜率不存在的直线。
平行与垂直
若两条非竖直直线斜率分别为 $k_1,k_2$：
$$
l_1\parallel l_2\Longleftrightarrow k_1=k_2,
$$
$$
l_1\perp l_2\Longleftrightarrow k_1k_2=-1.
$$
使用斜率时要警惕竖直线；用一般式时更稳定。
点到直线距离
点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离：
$$
d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
$$
它来自“点到直线的垂线段最短”。
训练题
- 求 $A(1,2)$，$B(4,6)$ 的距离。
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$$
AB=\sqrt{3^2+4^2}=5.
$$
- 求过点 $(2,1)$ 且斜率为 $3$ 的直线方程。
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点斜式：
$$
y-1=3(x-2),
$$
即 $y=3x-5$。
- 判断直线 $2x-y+1=0$ 与 $x+2y-3=0$ 是否垂直。
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第一条直线斜率 $k_1=2$，第二条直线斜率 $k_2=-\frac12$，$k_1k_2=-1$，所以垂直。
- 求点 $(1,2)$ 到直线 $3x+4y-5=0$ 的距离。
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$$
d=\frac{|3+8-5|}{5}=\frac65.
$$
- 直线过 $A(1,0)$、$B(1,3)$，它的斜率是多少？方程是什么？
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因为两个点的 $x$ 坐标相同，斜率不存在，直线方程为 $x=1$。
讲题追问
让学生每次设直线时都说明：我为什么可以设成 $y=kx+b$？有没有漏掉竖直线？