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圆的方程与直线圆问题

圆是解析几何中最重要的过渡对象。它比直线多了平方项，又比圆锥曲线简单。直线与圆的相交、相切、弦长，正好训练后面圆锥曲线大题需要的联立思想。

圆的定义和标准方程

平面内到定点 $C(a,b)$ 距离等于定长 $r$ 的点的集合叫圆。

标准方程：

$$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. $$

圆心是 $(a,b)$，半径是 $r$。

一般方程

圆的一般方程：

$$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0. $$

配方得：

$$ \left(x+\frac D2\right)^2+\left(y+\frac E2\right)^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F. $$

因此圆心为

$$ \left(-\frac D2,-\frac E2\right), $$

半径满足

$$ r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F. $$

要成为圆，必须 $r^2>0$。

直线与圆的位置关系

圆心到直线距离为 $d$，半径为 $r$：

  1. $d<r$：相交。
  2. $d=r$：相切。
  3. $d>r$：相离。

这是直线与圆问题最稳定的判定方法。

弦长公式

直线与圆相交，圆心到直线距离为 $d$，半径为 $r$，弦长为

$$ 2\sqrt{r^2-d^2}. $$

如果用联立法，也可以由两交点坐标求距离。

C d 弦所在直线

切线

过圆上一点的切线垂直于该点半径。若圆心为 $C$，切点为 $P$，切线方向必须垂直 $CP$。

从外点作圆的切线，常用：

  1. 点到直线距离等于半径。
  2. 切线与半径垂直。
  3. 切线长公式和直角三角形。

训练题

  1. 求圆 $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ 的圆心和半径。
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配方：

$$ (x-2)^2+(y+3)^2=16. $$

圆心 $(2,-3)$，半径 $4$。

  1. 判断直线 $3x+4y-10=0$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 的位置关系。
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圆心到直线距离

$$ d=\frac{|-10|}{5}=2. $$

半径 $r=2$，所以相切。

  1. 求圆 $x^2+y^2=25$ 被直线 $3x+4y=0$ 截得的弦长。
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圆心到直线距离为 $0$，所以弦长为直径 $10$。

  1. 求圆 $x^2+y^2=5$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程。
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半径方向向量为 $(1,2)$，切线法向量也是 $(1,2)$，所以切线方程为

$$ x+2y=5. $$
  1. 直线 $y=kx$ 与圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 相切，求 $k$。
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圆心 $(1,0)$ 到直线 $kx-y=0$ 的距离等于半径 $1$：

$$ \frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}=1. $$

无有限实数 $k$ 满足。遗漏的切线是 $x=0$，它不能写成 $y=kx$。本题训练设直线的完整性。

讲题追问

直线与圆题先问：用距离判定更快，还是联立更有用？如果题目只问相切相交，距离法通常最快；如果后面要交点坐标或弦长，联立法更常用。