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圆锥曲线统一入口

椭圆、双曲线、抛物线不是三堆孤立公式。它们都是“动点满足某种距离关系形成的轨迹”。先理解定义，后面的标准方程、焦点、离心率、弦长和大题才有根。

三类定义

椭圆：到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离和为常数。

$$ PF_1+PF_2=2a,\qquad 2a>F_1F_2. $$

双曲线：到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离差的绝对值为常数。

$$ |PF_1-PF_2|=2a,\qquad 0<2a<F_1F_2. $$

抛物线：到一个定点 $F$ 的距离等于到一条定直线 $l$ 的距离。

$$ PF=d(P,l). $$

标准方程从对称性来

标准方程不是硬背出来的。它们都来自选择合适坐标系：

  1. 把对称中心放在原点。
  2. 把焦点放在坐标轴上。
  3. 利用距离公式化简。

椭圆和双曲线有两个焦点，所以通常以中心为原点；抛物线只有一个焦点和一条准线，所以通常以顶点为原点。

椭圆：距离和定值 双曲线：距离差定值 抛物线：到点=到线

统一参数

椭圆：

$$ a^2=b^2+c^2,\qquad e=\frac ca,\qquad 0<e<1. $$

双曲线：

$$ c^2=a^2+b^2,\qquad e=\frac ca,\qquad e>1. $$

抛物线：

$$ y^2=2px\quad(p>0) $$

中，焦点为 $\left(\frac p2,0\right)$，准线为 $x=-\frac p2$。也有教材写 $y^2=4ax$，此时焦点为 $(a,0)$。

对比表

  1. 椭圆是封闭曲线，范围有限。
  2. 双曲线有两支，有渐近线。
  3. 抛物线只有一个焦点，无中心，有准线。
  4. 椭圆和双曲线重视 $a,b,c,e$ 的关系。
  5. 抛物线重视焦点、准线、焦半径和焦点弦。

训练题

  1. 若动点到 $F_1,F_2$ 距离和为定值，且定值大于 $F_1F_2$，轨迹是什么？
查看解析

轨迹是椭圆，两个定点是焦点。

  1. 若动点到 $F_1,F_2$ 距离差的绝对值为定值，且定值小于 $F_1F_2$，轨迹是什么？
查看解析

轨迹是双曲线。

  1. 若动点到点 $F$ 和直线 $l$ 的距离相等，轨迹是什么？
查看解析

轨迹是抛物线，其中 $F$ 为焦点，$l$ 为准线。

  1. 椭圆中 $a=5,c=3$，求 $b$ 和离心率。
查看解析

椭圆满足 $a^2=b^2+c^2$，所以 $b=4$，离心率 $e=\frac35$。

  1. 双曲线中 $a=3,b=4$，求 $c$ 和离心率。
查看解析

双曲线满足 $c^2=a^2+b^2=25$，所以 $c=5$，离心率 $e=\frac53$。

讲题追问

问学生：这个方程对应的曲线，定义中的“距离关系”是什么？如果她只能背方程，说明圆锥曲线还没有真正建立。