标准流程
设直线：
$$
y=kx+m
$$
与曲线联立，通常得到
$$
Ax^2+Bx+C=0.
$$
若交点为 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，则
$$
x_1+x_2=-\frac BA,\qquad x_1x_2=\frac CA.
$$
同时要有
$$
\Delta=B^2-4AC>0
$$
来保证两个不同交点。
弦长公式
若直线为 $y=kx+m$，则
$$
PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.
$$
因为
$$
y_1-y_2=k(x_1-x_2),
$$
所以
$$
PQ=\sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2|.
$$
又
$$
(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2.
$$
所以
$$
PQ=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}.
$$
如果直线斜率不存在，要改用 $x=t$ 或用参数式。
中点弦
若弦 $PQ$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，则
$$
x_1+x_2=2x_0,\qquad y_1+y_2=2y_0.
$$
中点弦题常用“点差法”：把两点代入曲线方程后相减，得到斜率关系。
面积表达
三角形面积常见写法：
- 以弦长为底，高为点到直线距离。
- 用坐标行列式：
$$
S_{\triangle OPQ}=\frac12|x_1y_2-x_2y_1|.
$$
- 若 $y=kx+m$，则
$$
x_1y_2-x_2y_1=m(x_1-x_2).
$$
这个式子在过定点直线与圆锥曲线围成面积题中很常用。
设直线的选择
- 过定点 $(x_0,y_0)$：设 $y-y_0=k(x-x_0)$。
- 截距相关：设 $\frac xa+\frac yb=1$。
- 斜率可能不存在：用一般式或单独讨论。
- 过焦点：根据焦点坐标设点斜式。
- 与曲线对称轴有关：考虑水平线或竖直线特殊情况。
常见错误
- 忘记 $\Delta>0$。
- 把 $x_1-x_2$ 当成弦长。
- 用 $y=kx+m$ 漏掉竖直线。
- 韦达式写对了，但目标表达错了。
- 化简时没有利用曲线本身的参数关系，例如 $a^2=b^2+c^2$。
训练题
- 直线 $y=kx+m$ 与椭圆联立后得到 $Ax^2+Bx+C=0$，写出两交点横坐标的和与积。
查看解析
若两交点横坐标为 $x_1,x_2$，则
$$
x_1+x_2=-\frac BA,\qquad x_1x_2=\frac CA.
$$
- 已知 $x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$，求 $(x_1-x_2)^2$。
查看解析
$$
(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9-8=1.
$$
- 直线 $y=2x+1$ 与曲线交于 $P,Q$，若 $|x_1-x_2|=3$，求 $PQ$。
查看解析
$$
PQ=\sqrt{1+2^2}\cdot3=3\sqrt5.
$$
- 若 $P,Q$ 在直线 $y=kx+m$ 上，说明 $y_1-y_2$ 与 $x_1-x_2$ 的关系。
查看解析
因为 $y_i=kx_i+m$，所以
$$
y_1-y_2=k(x_1-x_2).
$$
- 为什么大题中设 $y=kx+m$ 前要考虑斜率不存在？
查看解析
$y=kx+m$ 只能表示非竖直直线。若题目中的直线可能是竖直线，直接这样设会漏解或漏特殊情况。
讲题追问
联立以后不要急着算根。先问：这题到底需要 $x_1+x_2$、$x_1x_2$、$x_1-x_2$，还是点到直线距离？目标决定保留哪些代数结构。