这一页是解析几何的配套训练。每组题都对应一个模块，题目不追求花哨，而是训练高考解析几何最重要的稳定动作：设、联立、韦达、转化、消参、检查。
求过点 $(1,2)$，斜率为 $-2$ 的直线方程。
即 $y=-2x+4$。
求点 $(2,-1)$ 到直线 $3x-4y+5=0$ 的距离。
判断直线 $2x+ay+1=0$ 与 $x-y+3=0$ 垂直时，$a$ 的值。
第一条直线法向量为 $(2,a)$，第二条法向量为 $(1,-1)$。两直线垂直等价于法向量垂直对应方向不直接方便。化成斜率：第一条斜率 $-\frac2a$，第二条斜率 $1$，垂直需 $-\frac2a\cdot1=-1$，得 $a=2$。
求过两点 $(1,3)$、$(4,-3)$ 的直线方程。
斜率 $k=\frac{-6}{3}=-2$，所以
即 $2x+y-5=0$。
直线 $l$ 过点 $(1,1)$，且到原点距离为 $1$，求 $l$ 的方程。
设直线为 $y-1=k(x-1)$，即 $kx-y+1-k=0$。原点到直线距离为
平方得 $(1-k)^2=k^2+1$，所以 $k=0$，得 $y=1$。还要考虑斜率不存在的直线 $x=1$，它到原点距离也为 $1$。故 $x=1$ 或 $y=1$。
求圆 $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ 的圆心和半径。
配方：
圆心 $(-1,2)$，半径 $3$。
判断直线 $x+y=3$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 的位置关系。
圆心到直线距离
所以相离。
求圆 $x^2+y^2=25$ 被直线 $y=3$ 截得的弦长。
圆心到直线距离 $d=3$，半径 $5$，弦长
求圆 $x^2+y^2=10$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程。
切线方程为
过点 $(0,3)$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线，求切线方程。
设切线为 $y=kx+3$，即 $kx-y+3=0$。圆心到直线距离等于半径：
得 $k^2=8$，所以切线为 $y=\pm2\sqrt2x+3$。
动点到两定点距离和为 $8$，两定点距离为 $6$，轨迹是什么？
因为 $8>6$，轨迹是椭圆。
动点到两定点距离差的绝对值为 $4$，两定点距离为 $10$，轨迹是什么？
因为 $0<4<10$，轨迹是双曲线。
椭圆中 $a=6,e=\frac23$，求 $c,b$。
$c=ae=4$，$b^2=a^2-c^2=36-16=20$，所以 $b=2\sqrt5$。
双曲线中 $a=4,e=\frac54$，求 $c,b$。
$c=ae=5$，$b^2=c^2-a^2=25-16=9$，所以 $b=3$。
已知曲线上的点到点 $(2,0)$ 的距离等于到直线 $x=-2$ 的距离，求曲线类型和方程。
这是抛物线，焦点 $(2,0)$，准线 $x=-2$，顶点原点，方程为
椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 的焦点和离心率。
$a=4,b=3,c=\sqrt7$，焦点 $(\pm\sqrt7,0)$，离心率 $e=\frac{\sqrt7}{4}$。
焦点在 $y$ 轴，$a=5,b=3$，写出椭圆方程。
焦点在 $y$ 轴，较大分母在 $y^2$ 下：
椭圆焦点为 $(\pm4,0)$，短轴长为 $6$，求方程。
$c=4,b=3$，$a^2=b^2+c^2=25$，方程为
椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上点 $P$ 的横坐标为 $3$，求 $PF_1,PF_2$ 的和。
由定义，$PF_1+PF_2=2a=10$。
直线 $y=mx$ 过椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的中心，求它截椭圆所得弦的中点。
椭圆中心为原点，过中心的直线截得的弦关于原点对称，所以中点为 $(0,0)$。
双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的焦点和渐近线。
$a=4,b=3,c=5$，焦点 $(\pm5,0)$，渐近线 $y=\pm\frac34x$。
焦点在 $y$ 轴，$a=2,b=5$，写出双曲线方程。
双曲线渐近线为 $y=\pm2x$，且 $a=3$，焦点在 $x$ 轴，求方程。
焦点在 $x$ 轴时渐近线 $y=\pm\frac ba x$，所以 $b=6$。方程为
双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的离心率。
$a=3,b=4,c=5$，所以 $e=\frac53$。
为什么双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 不可能与 $y$ 轴相交？
令 $x=0$，得 $-\frac{y^2}{b^2}=1$，无实数解。所以它不与 $y$ 轴相交。
求抛物线 $y^2=12x$ 的焦点和准线。
$4a=12$，$a=3$，焦点 $(3,0)$，准线 $x=-3$。
焦点为 $(0,2)$，准线为 $y=-2$，求抛物线方程。
顶点原点，向上开口，$a=2$，方程为
点 $P(x_0,y_0)$ 在 $y^2=12x$ 上，求焦半径。
$a=3$，所以 $PF=x_0+3$。
抛物线 $y^2=4x$ 被直线 $x=4$ 截得弦长。
令 $x=4$，得 $y^2=16$，$y=\pm4$，弦长 $8$。
抛物线 $y^2=8x$ 的焦点弦过焦点且垂直于 $x$ 轴，求弦长。
焦点为 $(2,0)$，直线为 $x=2$。代入 $y^2=16$，得 $y=\pm4$，弦长 $8$。
若 $x_1+x_2=5$，$x_1x_2=6$，求 $(x_1-x_2)^2$。
直线 $y=3x+1$ 上两点横坐标差为 $2$，求两点距离。
直线 $y=kx+m$ 与曲线交于 $P,Q$，写出弦长公式中最常用的横坐标形式。
为什么联立后需要判别式条件？
判别式保证交点存在。若要求两个不同交点，需要 $\Delta>0$；若只要求有公共点，可以用 $\Delta\ge0$。
直线 $y=kx+1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 有两个交点，写出联立后关于 $x$ 的二次方程。
代入得
整理：
直线族 $y+1=k(x-2)$ 恒过哪个点？
恒过 $(2,-1)$。
动点 $P(t,3t-2)$ 在哪条定直线上？
消去 $t$，得 $y=3x-2$。
方程 $(x-1)k+(y+2)=0$ 对任意 $k$ 成立，求定点。
要对任意 $k$ 成立，需 $x-1=0$，$y+2=0$，所以定点 $(1,-2)$。
若 $k_1=\frac{t+2}{t-1}$，$k_2=\frac{t-1}{t+2}$，求 $k_1k_2$。
在 $t\ne1,-2$ 时，$k_1k_2=1$。
说明“代特殊值猜定点”和“证明定点”的区别。
代特殊值只能猜出可能的点；证明定点必须说明对任意允许参数，相关直线或曲线都经过该点。
点 $P$ 在圆 $x^2+y^2=4$ 上，求 $x$ 的范围。
由 $x^2\le4$，得 $-2\le x\le2$。
点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 上，求 $y$ 的范围。
由 $\frac{y^2}{9}\le1$，得 $-3\le y\le3$。
若 $t>0$，求 $2t+\frac8t$ 的最小值。
当 $2t=\frac8t$，即 $t=2$ 时取等号。
直线 $y=kx+2$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 是否可能相交？
圆心到直线距离为 $\frac2{\sqrt{k^2+1}}$。当 $|k|\ge\sqrt3$ 时距离不超过 $1$，可以相交。
为什么圆锥曲线范围题经常用 $\Delta\ge0$？
当某个参数对应的点或直线存在时，联立后的一元二次方程必须有实根，因此判别式非负会给出参数范围。
圆锥曲线大题第一步最常见的两个动作是什么？
明确曲线方程；设直线或设点。
为什么“斜率不存在”常常要单独讨论？
因为 $y=kx+b$ 不能表示竖直线，若题目允许竖直线，直接设斜率会漏情况。
面积题中，若一边是弦 $PQ$，另一个顶点为定点 $A$，面积怎么表达？
其中 $d(A,PQ)$ 是点 $A$ 到弦所在直线的距离。
中点弦题为什么适合点差法？
两点代入曲线方程后相减，可以直接出现 $x_1+x_2$、$y_1+y_2$，而中点正好给这两个量。
一个圆锥曲线大题做完后，最后必须检查什么？
检查判别式条件、参数范围、斜率不存在情况、是否有退化直线或重根，以及所得结论是否对所有允许情况成立。
每次课后不要整页通刷。建议每讲布置：基础 3 道、方法 3 道、综合 1 道，再让学生选 1 道准备讲题。目标是稳定流程，而不是把计算堆到失控。