定义
平面内到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离和等于常数 $2a$ 的点的轨迹叫椭圆：
$$
PF_1+PF_2=2a.
$$
要求 $2a>F_1F_2$。若 $2a=F_1F_2$，轨迹退化为线段；若 $2a<F_1F_2$，无轨迹。
标准方程
焦点在 $x$ 轴：
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0),
$$
焦点为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，且
$$
a^2=b^2+c^2.
$$
焦点在 $y$ 轴：
$$
\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\quad(a>b>0).
$$
核心量
- 长轴长：$2a$。
- 短轴长：$2b$。
- 焦距：$2c$。
- 离心率：
$$
e=\frac ca,\qquad 0<e<1.
$$
离心率越接近 $1$，椭圆越扁；越接近 $0$，越接近圆。
焦半径
对于椭圆
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,
$$
点 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆上时：
$$
PF_1=a+ex_0,\qquad PF_2=a-ex_0.
$$
这个公式在焦点三角形、周长和距离问题中很有用。
常见题型
- 由 $a,b,c,e$ 求标准方程。
- 由定义求轨迹。
- 直线与椭圆交点、弦长、中点弦。
- 焦点三角形面积和周长。
- 离心率范围。
- 定点、定值和最值综合。
训练题
- 椭圆焦点在 $x$ 轴，$a=5,b=4$，求标准方程。
查看解析
$$
\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.
$$
- 椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的焦点坐标和离心率是多少？
查看解析
$a=5,b=3$，$c=4$，焦点为 $(\pm4,0)$，离心率 $e=\frac45$。
- 已知椭圆焦点为 $(\pm3,0)$，长轴长为 $10$，求方程。
查看解析
$a=5,c=3$，$b^2=25-9=16$，所以方程为
$$
\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.
$$
- 点 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上，求 $PF_1+PF_2$。
查看解析
- 椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 被直线 $y=0$ 截得的弦长是多少？
查看解析
令 $y=0$，得 $x=\pm3$，弦长为 $6$，也就是长轴长。
讲题追问
椭圆题每次先问：焦点在哪条轴？哪个分母是 $a^2$？不要看到 $x^2$ 就默认焦点在 $x$ 轴，真正决定焦点方向的是较大的分母。