定义
平面内到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离差的绝对值等于常数 $2a$ 的点的轨迹叫双曲线：
$$
|PF_1-PF_2|=2a.
$$
要求 $0<2a<F_1F_2$。
标准方程
焦点在 $x$ 轴：
$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
$$
焦点为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，且
$$
c^2=a^2+b^2.
$$
焦点在 $y$ 轴：
$$
\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1.
$$
渐近线
对
$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
$$
渐近线为
$$
y=\pm\frac ba x.
$$
对
$$
\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,
$$
渐近线为
$$
y=\pm\frac ab x.
$$
渐近线是双曲线图形理解的核心。
离心率
$$
e=\frac ca,\qquad e>1.
$$
双曲线的离心率越大，两支开口越“宽”。
常见题型
- 由 $a,b,c,e$ 求方程。
- 由渐近线和焦点求方程。
- 焦点三角形。
- 离心率范围。
- 直线与双曲线交点和弦长。
- 与渐近线、切线、定值问题结合。
训练题
- 双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的焦点和渐近线是什么？
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$a=3,b=4,c=5$，焦点为 $(\pm5,0)$，渐近线为 $y=\pm\frac43x$。
- 焦点在 $x$ 轴，$a=2,b=3$，求双曲线方程。
查看解析
$$
\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1.
$$
- 双曲线焦点为 $(\pm5,0)$，实轴长为 $6$，求方程。
查看解析
$a=3,c=5$，$b^2=c^2-a^2=16$，所以
$$
\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1.
$$
- 双曲线 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$ 的焦点在哪条轴？
查看解析
- 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率是否可能小于 $1$？
查看解析
不可能。双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，所以 $c>a$，故 $e=\frac ca>1$。
讲题追问
双曲线题先问：正项是谁？焦点在哪条轴？渐近线是什么？这三个问题说清楚，图形才不会乱。