概率诊断与延迟复测

小组 $\binom52=10$ 种；正副组长 $5\times4=20$ 种。关键是交换两人的位置是否产生新对象。两种均答对且能解释记为独立掌握，写对公式但无法解释记需提示。

总数 10，全男 3，所以概率 7/10。观察能否主动把“至少”转为对立，同时说明分子分母都是无序二人组。

两项分别 3/10 和 3/10，和为 3/5。若概念理解但算错，标为运算问题，不重复重讲概率定义。

六个点数各 1/6，可作等可能样本点；奇偶两类也各 1/2，可在只研究奇偶的粗化模型中等可能。粗化后不能区分具体点数事件，如出 1。观察是否误认为样本空间只能选一种粒度。

互斥但不对立：不能同时发生，但并集没有覆盖 3、4、5、6。只说“不同所以对立”是概念错误。

非目标有 3 个，所以最少 1；目标只有 2，所以最多 2。观察是否能从实物数量推边界，暂不要求分布公式。

通分或等比和均得 15/8。进一步询问如何推广到 m 项；若只需少量提示，后续停止试验时回访即可。

$f'=1-2x$，在 1/2 左正右负，端点为 0，最大值 1/4。配方也可。此项用于决定进阶优化是否适合，不因本项薄弱阻止基础概率学习。

条件概率 20/50=2/5，等于无条件 40/100；交集概率 1/5 等于 (2/5)(1/2)，独立。分母写 100 是条件信息错误。

均值 1，两侧偏差 -2、2，所以方差 4。观察是否把 E(X²)=5 错当方差，或只算偏差平均得到零。

不是，各次概率不同。恰两次成功概率 3/16，而 B(2,1/2) 给 1/4。反驳应给机制条件或可核查概率，不只回答“不能”。

标准差 3，17=20-3，左尾 (1-0.6827)/2=0.15865。若只错小数运算则与概念错误分开记。

样本点为无序二球集合，共 $\binom62=15$。至少一红剔除唯一白白集合，剩 14 个等可能结果；恰一红 $4\times2=8$ 个。概率 8/14=4/7。

评分：样本点与等可能依据 1 分，条件分母 2 分，分子 1 分，结果与说明 1 分。分母仍为 15 表明未真正使用条件。

X=0、1、2，分母 10，分子分别 $\binom32=3$、$\binom21\binom31=6$、$\binom22=1$，概率 3/10、3/5、1/10。E(X)=4/5，故 E(Y)=14。概率和为 1。

评分：取值 1 分，计数与三项概率 2 分，归一检查 1 分，期望 1 分。若错用二项分布，优先补机制比较。

固定三次、二分类、相互独立、概率恒定，$X\sim B(3,2/3)$。$P(X=2)=3(2/3)^2(1/3)=4/9$，E(X)=2，D(X)=2/3。

评分：模型条件 1 分，位置选择系数与路径概率 2 分，期望 1 分，方差 1 分。只写公式无条件依据，模型条件项不得分。

T=1、2、3，概率 1/3、2/9、4/9。末项只要求前两次失败，不要求末次成功。E(T)=1/3+4/9+12/9=19/9；尾和 1+2/3+4/9 也为 19/9。

评分：取值 1 分，前三项概率共 2 分，末项原因 1 分，期望或独立验算 1 分。末项多乘 1/3 是停止边界问题。