独立试验成功概率 $p\in(0,1)$，遇到第一次成功就停止，最多做 $m$ 次。令 $T$ 为实际试验次数。若 $1\le k<m$，必须先失败 $k-1$ 次再成功，因此 $P(T=k)=(1-p)^{k-1}p$；若 $T=m$，只需前 $m-1$ 次失败，最后一次无论成败都会停，因此
独立试验成功概率 $p\in(0,1)$，遇到第一次成功就停止，最多做 $m$ 次。令 $T$ 为实际试验次数。若 $1\le k<m$，必须先失败 $k-1$ 次再成功，因此 $P(T=k)=(1-p)^{k-1}p$；若 $T=m$，只需前 $m-1$ 次失败，最后一次无论成败都会停，因此
不能把这一项再乘 $p$。若随机变量改成“成功次数”或“失败次数”，取值和末项都要重新分析。
对于取值为 $1,\ldots,m$ 的 $T$，每个样本点上有 $T=\sum_{k=1}^m\mathbf1_{\{T\ge k\}}$，取期望得
这说明尾和公式来自“每一段是否被用到”的计数。$p=0$ 时 $T=m$，$p=1$ 时 $T=1$，直接处理。
改编自《2020高考统计概率大题必刷热点题型》第 2 题。粒子从正四面体顶点 $A$ 出发，每一步在当前顶点相邻的三个顶点中等可能选一个，且下一步选择仅取决于当前顶点。令 $p_n$ 为第 $n$ 步后在 $A$ 的概率，$p_0=1$，求 $p_n$。
当前在 $A$ 时下一步必离开，当前不在 $A$ 时恰有一个相邻顶点是 $A$，转入概率为 $1/3$。两种状态互斥完备，所以
为消去常数，找满足 $L=1/3-L/3$ 的 $L=1/4$，于是 $p_{n+1}-1/4=-(p_n-1/4)/3$。以 $p_0-1/4=3/4$ 为首项得
其余三个顶点由置换对称性各占 $(1-p_n)/3$。检验 $p_0=1,p_1=0,p_2=1/3$，并且偏离 $1/4$ 的量按 $1/3$ 倍衰减。这才是“长期接近均匀”的计算依据。
固定 $n$ 次独立同概率试验，求恰有 $k$ 次成功的概率关于 $p$ 的最大值，$0<k<n$。
设 $h(p)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$。端点概率为 0；在 $(0,1)$ 内 $h>0$，故可对 $\ln h$ 求导：
分母为正，导数在 $p=k/n$ 左正右负，所以唯一最大点是 $k/n$。$k=0$ 或 $k=n$ 的最大值在端点，应另论。
需求 $D$、订货量 $q$、售价 $s$、成本 $c$、残值 $v$ 满足 $s>c>v\ge0$。已售数量 $\min(D,q)$，剩余数量 $(q-D)^+$，利润
逐个需求取值加权，得到 $E(L)$。多订一件的期望收益为
这把最优化转成“多一件是否划算”。只有题目采用期望为目标时才按期望选择；约束还可能包括资金、损失概率和稳定性。
直方图的频率是矩形面积，纵轴通常为频率/组距；分组均值用组中值加权只是近似。先完成读图，再把频率作为概率估计，最后建立抽样模型。
回归拟合 $\hat y=a+bx$ 时，最小化 $\sum_i(y_i-a-bx_i)^2$。对 $a$ 求导得到 $a=\bar y-b\bar x$，代回后对 $b$ 求导得到
前提是 $x_i$ 不全相同。回归预测是估计，不能宣称因果；外推尤其需要模型依据。列联表独立性检验检验的是总体关联假设，显著不等于因果，也不能说“有某置信度两个事件独立”。完整统计专题可进一步沿本地考点 29、30、32 展开。
每道综合题按六步写：定义变量与单位；写全部取值；指出随机机制；说明互斥分类与独立条件；算分布并检验概率和；按目标解释结果。
学生讲题必须回答：为何不套二项？停止边界是哪一项？递推是否只靠当前状态闭合？频率替代概率在哪一步引入估计？
对应训练：J、K、L 组。本地对应：考点 39 与热点题集。