固定做 $n$ 次试验，各次相互独立，每次按成功或失败分类，成功概率恒为 $p$。令 $X$ 为成功次数。指定恰好 $k$ 个位置成功的一条类型路径概率为 $p^k(1-p)^{n-k}$；这样的成功位置集合共 $\binom nk$ 个且互斥，因此
固定做 $n$ 次试验，各次相互独立，每次按成功或失败分类，成功概率恒为 $p$。令 $X$ 为成功次数。指定恰好 $k$ 个位置成功的一条类型路径概率为 $p^k(1-p)^{n-k}$；这样的成功位置集合共 $\binom nk$ 个且互斥，因此
记 $X\sim B(n,p)$。端点 $p=0,1$ 是常量分布，单独按机制解释即可，避免机械计算 $0^0$。归一性来自二项式定理。令 $I_j$ 表示第 $j$ 次是否成功，取值 0、1，则 $E(I_j)=p,D(I_j)=p(1-p)$。由 $X=\sum I_j$ 及独立性得
不同成功率的独立试验仍可用指示变量算期望，但不能套一个二项分布。中途停止也不能把实际次数直接当固定 $n$。
总体 $N$ 个可区分对象中有 $M$ 个目标对象，从全部 $n$ 元子集等可能选一个，$0\le n\le N$。令 $X$ 为抽到的目标数。要恰好 $k$ 个，必须在目标中选 $k$ 个、非目标中选 $n-k$ 个：
这个上下界同时保证两类数量足够，不能只写 $0\le k\le n$ 后把不合法组合代入。
各抽取位置对目标对象具有对称性，单位置目标概率 $M/N$。设位置指示变量 $I_j$，由期望线性性，不需要独立，得 $E(X)=nM/N$。
若 $N>1$，不同位置的 $E(I_iI_j)=M(M-1)/(N(N-1))$。展开 $D(\sum I_j)$，每个方差为 $q(1-q)$，每个交叉项为 $-q(1-q)/(N-1)$，其中 $q=M/N$，所以
当 $n=N$ 时全部取出，方差为 0；$N=1$ 时直接按常量或单次试验处理。与二项分布相比，多出有限总体修正因子。不放回试验的结果相关，这正是模型差异的来源。
连续变量的概率由曲线下的面积表示。正态分布 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma>0$，其密度定义为
密度不是点概率；连续模型中 $P(X=x)=0$，但区间概率可为正。该密度全实线面积为 1、均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的积分证明超出高中主线，这里明确作为所用分布的性质，不伪称由图形已证明。
由于 $f(\mu+t)=f(\mu-t)$，左右等距区间面积相同。标准化 $Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$；将区间端点作同一变换即可查表。常用近似为中心一个、两个、三个标准差内概率分别为 $0.6827,0.9545,0.9973$，属于数值积分结果，并非任何分布都适用的经验规则。
例如 $P(\mu<X<\mu+\sigma)=0.34135$，$P(X>\mu+2\sigma)\approx0.02275$。题目给不同精度时沿用题设精度。
以样本频率估计 $p$、样本均值估计 $\mu$、样本方差估计 $\sigma^2$，所得是估计模型下的概率。必须说明抽样代表性及独立近似；从有限样本不放回抽取，不能仅因“总体大”就写成严格二项分布。
对应训练：F、G、I 组。本地对应：考点 36、38；统计接口见考点 29、30。