随机变量 $X$ 是给每个样本点赋一个实数的函数。例如三次抛币的样本点是长度为 3 的正反序列，$X$ 可定义为正面次数；不同序列可能映射到相同的 $X$ 值。$\{X=k\}$ 是一个事件，而 $X$ 本身是函数。
随机变量 $X$ 是给每个样本点赋一个实数的函数。例如三次抛币的样本点是长度为 3 的正反序列，$X$ 可定义为正面次数；不同序列可能映射到相同的 $X$ 值。$\{X=k\}$ 是一个事件，而 $X$ 本身是函数。
有限离散分布列要列出所有不同取值 $x_i$ 及其概率 $p_i=P(X=x_i)$。必须满足 $p_i\ge0$、$\sum p_i=1$。先找取值范围，再逐项计算，最后归一检查。概率为零的候选值可以保留为零项，也可以删去，但不能漏掉正概率取值。
有限离散随机变量的期望定义为
它是按模型概率加权的中心，不必是可能取值，也不保证某次获得该值。大量重复试验中平均值趋近它，需要相应的重复与稳定性条件；不能把它解释成单次承诺。
若 $Y=g(X)$，把产生同一 $Y$ 值的 $X$ 项合并后有
取 $g(x)=ax+b$ 并展开求和，得 $E(aX+b)=aE(X)+b$。对两个变量，用联合事件 $\{X=x_i,Y=y_j\}$ 分块可证 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$，不要求独立。
直接平均偏差得到 $E(X-E(X))=0$，正负会抵消。定义平方偏差的平均为方差：
第二个式子由展开平方和期望线性性得到。$D(X)\ge0$，标准差为 $\sqrt{D(X)}$，其单位与 $X$ 相同，方差单位是原单位的平方。
由 $aX+b-E(aX+b)=a(X-E(X))$，得到 $D(aX+b)=a^2D(X)$。平移不改变离散程度，伸缩使距离乘 $|a|$，平方距离乘 $a^2$。
一般地
独立时最后一项为 0，因为联合概率可分解，从而 $E(XY)=E(X)E(Y)$。不能仅凭期望能相加就断定方差也能相加。
方案甲固定得 10 分；方案乙以各 $1/2$ 的概率得 0 分或 20 分。比较期望和方差。
甲 $E=10,D=0$；乙 $E=0/2+20/2=10$，$D=(0-10)^2/2+(20-10)^2/2=100$。若目标是同一期望下更稳定，选甲；若目标是达到 20 分，只有乙有机会。选择依赖决策目标，方差小不是所有情境下的绝对最优。
完整解答顺序：定义 $X$ 及单位 → 列取值 → 解释每个取值对应事件 → 求概率并验和 → 算数字特征 → 按题设目标解释。
追问：期望为什么不必可取？两条路径产生相同奖金时是否合并？$E(X^2)$ 为什么不是 $[E(X)]^2$？
对应训练：E、H 组。本地对应：考点 39。