条件概率与独立性：信息改变了什么

条件概率的定义与来源

已知事件 $B$ 发生后，只在 $B$ 内比较各结果。原来这部分总权重为 $P(B)$；要重新归一为 1，就把其中每个权重除以 $P(B)$。因此当 $P(B)>0$ 时定义

分母为零时此定义不可用。古典概型中可化为 $|A\cap B|/|B|$，但只适用于原样本点等可能的情形。$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 的已知信息不同，通常不相等。

重排定义得到乘法公式

沿一条路径相乘是逐步使用条件概率，不要求独立；把不同互斥路径相加则来自可加性。

全概率与贝叶斯公式

若 $B_1,\ldots,B_m$ 两两互斥、并集为 $\Omega$，且各 $P(B_i)>0$，则 $A\cap B_i$ 把 $A$ 分块，故

当 $P(A)>0$，把交集的乘法公式代入条件概率，得到

这是一条反向追溯来源的推论。分母要包括所有能产生观察结果的来源。

例：抽到次品后判断来源

随机抽出的产品有 $60\%$ 来自甲厂、$40\%$ 来自乙厂；两厂次品率分别为 $1/10$、$1/5$。求次品率与已知次品来自甲厂的概率。

独立的严格判据

定义 $A,B$ 独立为 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。若 $P(B)>0$，这等价于 $P(A\mid B)=P(A)$：知道 $B$ 不改变对 $A$ 的概率判断。独立与时间先后、是否有放回没有逻辑上的自动等价关系，必须检查机制。

若独立，则

因此 $A,\overline B$ 也独立，其他取反情形同理。若 $A,B$ 互斥且概率都正，则交集概率为 0，而乘积为正，它们不独立。

三个事件两两独立不保证相互独立。两次独立公平抛币，取 $A$ 为第一次正面，$B$ 为第二次正面，$C$ 为两次相同：两两交集概率均为 $1/4$，但三者交集概率为 $1/4\ne1/8$。

复述检查

学生先说“在什么信息下”，再写概率。追问：为什么分母缩小？每条路径乘的是无条件概率还是条件概率？哪里用了相互独立？

对应训练：C、D 组。本地对应：考点 37、38。