每题先写清样本空间或随机变量、已知条件与所选模型，再计算。答案展开前先独立做题；讲题时补一句“如果改变什么条件，这种方法就不能用”。
独立掷两枚均匀骰子，已知点数和为 8，求至少一枚为 3 的概率。
条件样本空间有 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ 共 5 个等可能点，其中两个含 3。故条件概率为 $2/5$。原样本空间虽有 36 个点，已知条件后分母必须缩到 5；$2/36$ 求的是联合事件概率。
三人独立解决同一问题，成功率分别为 $1/2,2/3,3/4$，求至少一人成功的概率。
“至少一人成功”的对立事件是全部失败。独立条件使其概率为 $(1/2)(1/3)(1/4)=1/24$，所求为 $23/24$。不能把三个成功率相加，因为多人同时成功的情况会重复；也不能使用同参数二项分布，因为成功率不同。
$X$ 取 $-1,0,2$，概率分别为 $a,2a,1/4$，求 $a,E(X),D(X)$。
概率和为 1，故 $3a+1/4=1$，$a=1/4$，各概率非负。$E(X)=-1/4+2/4=1/4$；$E(X^2)=1/4+4/4=5/4$，所以 $D(X)=5/4-1/16=19/16$。期望在 $[-1,2]$ 内，方差非负。
独立进行 5 次成功率均为 $1/3$ 的试验，$X$ 为成功次数，求 $P(X=2),E(X),D(X)$。
模型条件满足 $X\sim B(5,1/3)$。$P(X=2)=C_5^2(1/3)^2(2/3)^3=80/243$；$E(X)=5/3$，$D(X)=10/9$。组合数表示成功位置的选择，不能遗漏。
先等可能选甲、乙袋之一，再从所选袋等可能抽一球。甲有 2 红 1 白，乙有 1 红 3 白。求抽到红球的概率，以及已知红球时选中甲袋的概率。
记甲袋事件为 $A$、红球事件为 $R$。两袋来源互斥且穷尽，$P(R)=(1/2)(2/3)+(1/2)(1/4)=11/24$。甲且红的概率为 $1/3$，因此 $P(A\mid R)=(1/3)/(11/24)=8/11$。不能把两袋混成一个袋子数红球，因为先选袋使每个球的抽中概率不相同。
6 件物品中 2 件次品，等可能随机抽取 3 件。令 $X$ 为次品数，求分布列、期望，并求 $Y=10-4X$ 的期望。
$X$ 可取 0、1、2，分母 $C_6^3=20$，三个分子分别为 $C_4^3=4$、$C_2^1C_4^2=12$、$C_2^2C_4^1=4$。概率分别为 $1/5,3/5,1/5$，和为 1。$E(X)=3/5+2/5=1$，因此 $E(Y)=10-4=6$。不放回引入依赖，不能用 $B(3,1/3)$ 替代。
一名选手每次独立答题，答对概率为 $p$，其中 $0<p<1$。最多答 3 题，一旦答错就停止，令 $X$ 为实际答题数，求分布列和期望。
$X=1$ 表示第一题错，概率 $1-p$；$X=2$ 表示第一题对且第二题错，概率 $p(1-p)$；$X=3$ 只需前两题都对，第三题对错均已答满 3 题，概率 $p^2$。三项相加为 1。
因为 $0<p<1$，期望在 1 与 3 之间。这里记录的是停止前答题数，不能当成固定三次中的成功次数；尤其 $P(X=3)$ 不是 $p^3$。
$X\sim N(50,4^2)$，已知 $P(46<X<54)=0.6827$，求 $P(X\le46)$ 与 $P(X<54)$。
46 与 54 关于均值 50 对称，两尾各占 $(1-0.6827)/2=0.15865$。所以前者为 0.15865，后者为 $1-0.15865=0.84135$。连续分布的单点概率为 0，严格不等号与含等号在这里不改变概率；离散型题目则需要考虑端点。
方案甲的得分恒为 2；方案乙以相同概率得 0 或 4。分别求期望和方差，并说明能否仅凭期望判断乙更好。
甲的期望为 2、方差为 0。乙的期望为 $(0+4)/2=2$，方差为 $[(0-2)^2+(4-2)^2]/2=4$。平均得分相同，但乙波动更大。偏好稳定得分还是争取高分需要额外目标，不能从相同期望推出两个方案在所有意义下等价。
独立抛两次公平硬币。$A$ 为第一次正面，$B$ 为第二次正面，$C$ 为两次同面。证明它们两两独立，但并不相互独立。
四个等可能样本点为正正、正反、反正、反反。三个事件各有概率 $1/2$；每一对事件的交集都只有正正，概率 $1/4=(1/2)(1/2)$，所以两两独立。但三事件交集仍只有正正，概率 $1/4\ne1/8=P(A)P(B)P(C)$，不相互独立。因此三事件同时发生不能仅凭两两独立就把三个概率相乘。
能否解释每个分母的含义？能否说明独立性在哪一步用到？能否检查分布列概率和为 1？能否区分条件概率、联合概率、期望与一次结果？某题不会时，回到对应讲义修正模型，再做同类题。