[返回路线](./09_two_week_plan_zh.md)。周日两小时，本地对应考点 39 与热点题集。
独立试验每次成功概率 p，遇成功即停，最多 m 次，T 为实际次数。k<m 时要求前 k-1 次失败、第 k 次成功；T=m 只要求前 m-1 次失败，末次成功或失败都停。于是 $P(T=k)=(1-p)^{k-1}p$（k<m），$P(T=m)=(1-p)^{m-1}$。
逐样本有 $T=\sum_{k=1}^m\mathbf1_{\{T\ge k\}}$，取期望得 $E(T)=\sum_{k=1}^mP(T\ge k)$；再用等比和。完整推导见综合讲义。
决策必须先写收益函数，再取期望。若题目要求稳定性，比较方差；若题目只要求期望最大，不擅自改目标。
10 分钟复盘，40 分钟新知中用“最多三次、首次成功停止”讲透末项，再用自编检验模型示范收益表。休息后，35 分钟应用中安排阶段诊断四题约 25 分钟，其余时间核对取值与事件。20 分钟选择一处结构错误重写，末 10 分钟决定第三周补缺或进阶。诊断若计算较慢，按真实作答记录，不用讲完答案冒充独立完成。
每次独立成功率 1/2，首次成功即停，最多三次。求次数 T 的完整分布与期望；说明 P(T=3) 为何不是 1/8。
把末次成功、末次失败两条终止路径都写出。
T 取 1、2、3，概率 1/2、1/4、1/4，和为 1。末项含失败失败成功和失败失败失败，各 1/8，合计 1/4。期望 $1/2+2/4+3/4=7/4$。尾和也为 $1+1/2+1/4=7/4$。
沿用上题，每次失败扣 2 分，首次成功得 5 分，三次均失败则没有成功奖励。令净得分 Y，求分布、期望与出现负分的概率。
第 3 次成功与三次全败有相同次数，却有不同得分。
首成得 5 分概率 1/2；败成得 3 分概率 1/4；败败成得 1 分概率 1/8；全败得 -6 分概率 1/8。期望 $5/2+3/4+1/8-6/8=21/8$，负分概率 1/8。不能从 T=3 的一项直接映射到一个奖金值，因为次数没有保留末次结果的信息。
产品次品概率 p。直接销售：合格净利润 10 元，次品净亏损 20 元。先检验：检验准确，每件花 2 元；合格售出净利润为 8 元，次品报废后的净收益为 -2 元。以单件期望最大为目标，求何时应检验。
分别按合格、次品分类写期望，注意题干已给净收益。
直接销售期望 $10(1-p)-20p=10-30p$；检验期望 $8(1-p)-2p=8-10p$。检验减直接为 $20p-2$。p>1/10 选检验，p<1/10 直接，p=1/10 期望相同。p 在 [0,1] 内；结论依赖准确检验与题定净收益，不能重复扣成本。
三次独立试验成功率 p，求恰一次成功概率的最大值与对应 p；解释为何 p=1 反而不能实现目标。
目标函数为 $3p(1-p)^2$，同时检查端点。
$h(p)=3p(1-p)^2$，p 在 [0,1]。导数 $h'(p)=3(1-p)(1-3p)$，在 (0,1/3) 为正、(1/3,1) 为负；端点函数值为零。因此最大点 p=1/3，最大值 4/9。p=1 时恰三次成功，恰一次成功的概率为零。这里复习导数符号与端点比较。
讲题指定作业 2：为什么记录次数与记录净得分不能用同一分布？