[返回路线](./09_two_week_plan_zh.md)。周三一小时，本地对应考点 36。
N 个对象中 M 个目标类，等可能不放回选 n 个，X 为目标数，称超几何分布（hypergeometric distribution）。样本点是等可能的 n 元子集，分母为 $\binom Nn$；恰 k 个目标数的集合由目标中选 k、其余中选 n-k 唯一确定，分子为 $\binom Mk\binom{N-M}{n-k}$。
取值范围必须兼顾两类数量：$\max(0,n-(N-M))\le k\le\min(n,M)$。期望用位置指示变量相加得 nM/N，不要求独立。方差的交叉项推导见分布讲义，课堂先由具体分布列计算。
复测第三课分布列。25 分钟新知用 3 红 2 白取 2 球，先画集合再算概率；20 分钟应用把同一题改成放回，学生独立比较。退出题：5 个中 3 个目标，抽 4 个，目标数能为零吗？不能，非目标只有 2 个，下限是 2。若她只会写“0 到 n”，需回到实际对象数量。
5 件产品中 3 件合格，等可能选 4 件。有人列合格数为 0、1、2、3、4，指出不可能取值并求完整分布。
合格最多 3 件；非合格只有 2 件。
至少取到 2 件合格，最多 3 件。$P(X=2)=\binom32\binom22/\binom54=3/5$，$P(X=3)=\binom33\binom21/\binom54=2/5$，和为 1。0、1、4 不可能；可删去或明确写概率为零，不能当正概率取值。
6 个可区分球中 2 红 4 白，所有三球集合等可能，X 为红球数，求分布、期望、方差。
按 X=0、1、2 分别选红与白，分母相同。
分母 $\binom63=20$；三个分子为 $\binom43=4$、$\binom21\binom42=12$、$\binom22\binom41=4$，概率 1/5、3/5、1/5。期望 1，二阶矩 7/5，方差 2/5。均值也等于 $3\times2/6=1$，独立验证通过。
上题改为每次抽一球、放回混匀，连续独立抽三次。求红球次数的分布与方差，比较两模型均值和方差。
每次红球概率恒为 1/3。比较时别只看均值。
$X\sim B(3,1/3)$，取 0、1、2、3，概率分别为 8/27、12/27、6/27、1/27，和为 1。均值 1，方差 2/3。两模型均值相同，但不放回红球最多 2 个，方差 2/5 较小；放回可以同一个红球多次被抽中。相同均值不足以判断分布相同。
3 红 2 白依次随机不放回抽两球，求第二球红的概率及两球红的概率；判断两次红球事件独立吗？
第二球红按第一球红或白分类。
$P(第二红)=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$。两红概率 $(3/5)(2/4)=3/10$，不等于 $(3/5)^2=9/25$，故不独立。每个位置的边缘概率相同，并不代表条件概率不变。
讲题指定作业 3：为什么“总体相同”并不决定模型相同？