[返回路线](./09_two_week_plan_zh.md)。周五一小时，本地对应考点 37、38。借鉴 [OpenStax 二维表](https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-4-contingency-tables)与 [NRICH 自然频数到概率树](https://nrich.maths.org/articles/probability-calculations-tree-diagrams)，采用中文自编情境。
100 件产品中，甲厂占 60 件、其中次品 6 件；乙厂占 40 件、其中次品 8 件。
<figure><img src="../../../assets/probability-course/source-tree.svg" alt="100件产品按来源分为甲厂60件、乙厂40件，再分别分为次品6件与8件、正品54件与32件。"><figcaption>人数树：每次分类都保留所属范围。</figcaption></figure>
全部次品 14 件，在“已知次品”条件下，来自甲厂的比例是 6/14；在“已知甲厂”条件下，次品比例是 6/60。两个条件的分母不同。
一般当 $P(B)>0$ 时，对 B 内权重归一化，定义条件概率（conditional probability）$P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$。重排得到乘法公式。若 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，称独立（independent）；与互斥（mutually exclusive）不同。
来源互斥且完备时，先按来源分块：$P(D)=\sum_iP(B_i)P(D\mid B_i)$。逆向条件为某条来源次品路径除以全部次品路径，不额外背一套新套路。完整推导见条件讲义。
复盘第一课的机制题；新知先看人数树，再在各分支旁写比例，最后抽象到公式。全概率用同一产品情境完成，不再叠加复杂题。独立性的初始辨析用公平骰子：A 为偶数、B 为不大于 3，交集只有 2，所以不独立。退出检查问：沿路径相乘一定要求独立吗？答案是否定的，相乘的是条件概率；替换成无条件概率时才需要独立性。
公平骰子一次投掷，A 为出 1，B 为出 2。判断互斥、对立、独立，并给依据。
分别检查交集、并集及概率乘积。
交集为空，故互斥；并集不是全集，故不对立。$P(A\cap B)=0$，$P(A)P(B)=1/36$，故不独立。观察到出 2 后，出 1 的可能性变为零，不能说“两个不同结果互不影响”。
沿用 100 件产品情境，求次品概率、甲厂条件下次品概率、次品条件下来自甲厂概率，并判断来源甲与次品独立吗？
三个分母依次是 100、60、14。
$P(D)=14/100=7/50$，$P(D\mid甲)=6/60=1/10$，$P(甲\mid D)=6/14=3/7$。由于 1/10 不等于 7/50，二者不独立。也可比较交集 6/100 与乘积 $(60/100)(14/100)$，不相等。
3 红 2 白，所有二球集合等可能，不放回抽两球。已知至少一红，求两红概率；若条件改为第一球红，答案是多少？
“至少一红”不是“第一球红”，两者保留的结果不同。
至少一红的集合有 $\binom52-\binom22=9$ 个，两红有 $\binom32=3$ 个，概率 1/3。已知第一球红后余下 2 红 2 白，第二球红概率 1/2。第一条件保留红白和白红路径，第二条件排除了第一球白的路径，因此结果不同。
甲乙独立答题，成功率为 4/5、3/5。求至少一人成功，以及已知至少一人成功时恰一人成功的概率。
先列四条互斥路径，再缩小到至少一成功。
都成功 12/25，甲成功乙失败 8/25，甲失败乙成功 3/25，都失败 2/25，和为 1。至少一成功为 23/25，恰一成功为 11/25。后者是前者的子事件，条件概率为 $(11/25)/(23/25)=11/23$。
讲题指定作业 3：画出有序路径，解释两个条件留下哪些路径。