导数：考点 49-55 全量本地题库

1．曲线在点处的切线斜率为 .

【答案】

【解析】，则，．

2．曲线在处的切线的斜率等于 .

【答案】2

【解析】函数的导数为，则在处的导数，即切线斜率.

3．曲线在点处的切线的倾斜角为 .

【答案】135°

【解析】由题得，所以切线倾斜角为135°.

4．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则 .

【答案】

【解析】曲线，点的坐标为 所以 ，在点处切线斜率 ，即 所以分子分母同时除以 可得

5．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为 .

【答案】

【解析】根据已知条件，，因为曲线在处的切线的倾斜角为，所以，.因为，，则解得，，.

6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 。

【答案】2

【解析】∵，∴，再由导数的几何意义，

令，解得或(舍去)。

7．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是 。

【答案】

【解析】由，则，则，

又，所以。

8．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是 。

【答案】

【解析】因为，所以

因此，倾斜角为.

【题组二 在某点处求切线】

1．曲线在点处的切线方程为________.

【答案】

【解析】，，令x=0，，切线斜率为-1，

所以曲线在点处的切线方程为.故答案为：

2．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】∵点（0，1）在曲线上，又由题意，，∴斜率k＝，∴所求方程为：，即y＝x+1．

故答案为：．

3．曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】依题意：，故切线斜率，故切线方程.

故答案为：

4．曲线在处的切线方程为__________．

【答案】.

【解析】∵，∴，

∴当时，，，∴曲线在处的切线方程为：

即，故答案为：．

5．曲线在处的切线方程为__________．

【答案】.

【解析】当时,,即切点为

且

根据导数的几何意义,在处的切线斜率为

由点斜式方程的求法可得故答案为:

6． 曲线在点处的切线方程为__________.

【答案】

【解析】，当时其值为，

故所求的切线方程为，即．

7．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．

【答案】

【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．

8．若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________．

【答案】

【解析】为奇函数,则，，

，，又，

曲线在点处的切线方程为,即.

【题组三 过某点求切线】

1．过原点与曲线相切的直线方程为______.

【答案】

【解析】设切点为，由于，∴ 切线斜率为，

切线方程为，∵切线过原点，∴．，

所以切线方程为，即．故答案为：．

2．已知点在函数的图象上，则过点的曲线的切线方程是 。

【答案】或

【解析】由于点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上，则a=2,即y=2x3，y′=6x2，

设切点为(m,2m3),则切线的斜率为k=6m2，

由点斜式得：y-2m3=6m2(x- m).

代入点A（l，2）得,2-2m3=6m2(1-m).

即有，.解得或，即斜率为6或

则过点A的曲线C:y=f(x)的切线方程是：

y−2=6(x−1)或y−2=(x−1)，即6x−y−4=0或3x−2y+1=0.

3．过点作曲线的切线，则切线方程为 。

【答案】或

【解析】设切点为（m，m3-3m），的导数为，

可得切线斜率k＝3m2-3，

由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），

代入点可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），

解得m＝0或m＝3，

当m=0时，切线方程为，

当m=3时，切线方程为。

4．已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程为 .

【答案】或

【解析】设切点为,切线斜率 ，

则切线方程是，又过点，

所以， ①

又，②

由①②解得， 或 ，代入切线方程化简可得：

切线方程为 或.

5．过点A(2,1)作曲线的切线最多有 .

【答案】3条

【解析】设切点为，则切线方程为，因为过A(2,1)，所以

令，而，所以有三个零点，即切线最多有3条.

6．过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数的取值范围是 .

【答案】

【解析】设切点为(),,所以切线方程为:,代入,得,即这个关于的方程有两个解.化简方程为,即,令(),,,在上单调递增,在上单调递减,,g(1)=0,所以,所以.

7．已知函数和点，则过点与该函数图像相切的直线条数为 。

【答案】2

【解析】函数和点因为所以点没有在函数的图像上设切点坐标为 ,则则

由导数的几何意义可知,过切点的斜率为

过于切点的斜率表示为

所以,化简可得

所以解得或则切点有两个,因而有两条切线方程

【题组四 已知切线求参数】

1．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．

【答案】1.

【解析】函数的图象在处的切线与直线垂直,

函数的图象在的切线斜率

本题正确结果：

2．函数在点处的切线方程为，则_____，____.

【答案】

【解析】由题得，由导数的几何意义可得，

即，，所以.故答案为：(1). (2).

3．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______

【答案】e

【解析】设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（，），

与曲线C：g（x）＝切于点（，），

∴2，

化简可得，2，

∴

∵2，

a，

设h（x）（x＞0），则h′（x），

∴h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，

∴h（x）max＝h（），

∴实数a的的最大值为e，

故答案为e．

4．已知函数，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围__________。

【答案】(-3，-1)

【解析】设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），

则6x2﹣3，化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，

令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，则x＝0，x＝1．

∴g（x）在（1，+）上单增，在（0，1）上单减，

且g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，

又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，

则（t+3）（t+1）＜0，解得，﹣3＜t＜﹣1．故答案为(-3，-1).

5．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________.

【答案】1或

【解析】设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，曲线在在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，解得，或，所以或。

6．若直线与曲线相切，则ab的最大值为________.

【答案】

【解析】设切点为,则切线为,

所以,

令,

所以在,,

则.

故答案为：

7．已知，过作的三条切线，三个切点横坐标成等差数列，则 。

【答案】

【解析】设切点一般形式为，则，

即，化简得：，

由题意知：此方程有3个不同解，设为，则

，对应系数得：

，

把代入①得：④，

由②得：，

故代入③得：⑤，

由④：代入⑤得：．

1．已知函数，则的单调递增区间为______．

【答案】

【解析】的定义域是，，令，解得：，

故在递增，故答案为．

2．求函数的单调增区间是__________．

【答案】或

【解析】由，得令，可得

故函数的单调递增区间是故答案为或.

3．函数的单调减区间是______．

【答案】

【解析】函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.

4．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是________．

【答案】

【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝4x－＞0，得x＞.递增区间为

5．函数的单调递减区间为　　．

【答案】，

【解析】函数的定义域为令得，

函数的单调递减区间是 0，故答案为，。

6．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________．

【答案】(0,1)

【解析】由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝x－＜0，得0＜x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)．

【题组二 单调函数求参数】

1．已知函数在，上为增函数，则的取值范围是 。

【答案】

【解析】函数，可得，由条件，问题转化为，，，即，，，由基本不等式知.

2.若函数在上单调递减，则的取值范围为 。

【答案】

【解析】函数在上单调递减，

在上恒成立，在上恒成立，

令，，则，

当时，，此时单调递增，时，，单调递减

故当时，取得最大值（2），则，

3若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 。

【答案】

【解析】，若在区间上单调递减，

则区间上恒成立，即，，

令，，

故，，故的最大值是1，此时，即，

故的最大值是，故，

4.若函数在内单调递增，则实数的取值范围是 。

【答案】

【解析】函数在内单调递增，

在内恒成立，即在内恒成立．

在内恒成立．

，，．则有在，内恒成立．

，．

5.函数在上单调递增，则实数的范围是 。

【答案】

【解析】函数在上单调递增．恒成立，

令，则，

（1）．必须在上单调递减，在上单调递增．

为函数的极小值点．（1），解得．

6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 。

【答案】

【解析】函数，，

若函数在区间上递减，故在恒成立，即在恒成立，

令，，，

令，解得：，令，解得：，在递增，

而（2），故

7.若函数在，上单调递增，则的最小值是 。

【答案】

【解析】由，，

求导，，由在，上单调递增，

，在，恒成立，

，即，整理得：，，故的最小值.

8.函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围 。

【答案】，

【解析】由，得．

在定义域上是增函数，在上恒成立，

在上恒成立，只需．

当时，函数，当且仅当时取等号，，

，的取值范围为，．

9.若函数在区间单调递增，则的取值范围是 。

【答案】，

【解析】在区间单调递增，

所以在区间恒成立，即在区间恒成立，故．

10.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为 。

【答案】

【解析】，

，即，

当时，，时取等号，故，

当时，，递增，不成立，故.

【题组三 非单调函数求参数】

1.已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是 。

【答案】

【解析】函数，定义域，，

当时，，在上是增函数，不符合题意，

当 时，在，上，，单调递增，

在上，，单调递减，

函数在内不是单调函数，，.

2．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 。

【答案】

【解析】∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，

由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，

∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，

∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．

3．已知函数,则在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是 。

①②③④

【答案】③

【解析】f′（x）=2ax﹣4a﹣=，

若f（x）在（1，3）上不单调，令g（x）=2ax2﹣4ax﹣1，

则函数g（x）=2ax2﹣4ax﹣l与x轴在（1，3）有交点，

a=0时，显然不成立，

a≠0时，只需，解得：a＞.

4．已知函数f(x)＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调递减函数，则b的取值范围是 。

【答案】b<－1或b>3

【解析】f′(x)＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有f′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调递减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.

5．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.

【答案】

【解析】因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-，由f'（x）=0，得x=1/2．

当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0

据题意，k-1＜1/2＜k+1k-1≥0，解得1≤k＜3/2.

6．已知函数在上不单调，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】因为函数在上不单调

所以必有解当只有一个解时，得出函数在上单调递增，与题干矛盾，故必有两个不等实根

则，解得或

故答案为：

7．已知函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围是__________．

【答案】或

【解析】∵函数，∴f′（x）=3x2+6ax+，

由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，

∴3x2+6ax+=0满足：△=﹣＞0，解得或，

故答案为：或．

8．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】对函数求导可得，f′（x）＝3x2+4x﹣a，此时对称轴，

函数f（x）＝x3+2x2﹣ax+1在区间（0，1）上不是单调函数，

∴，解得：0＜a＜7，故答案为：（0，7）．

【题组四 利用单调性比大小】

1．比较（为自然对数的底数）的大小为 .

【答案】

【解析】根据题意，构造函数，所以，

当时 所以在上递增，

因为所以

2．函数是定义域为的可导函数，且对任意实数都有成立．若当时，不等式成立，设，，，则，，的大小关系是 .

【答案】

【解析】因为对任意实数都有成立

所以函数的对称轴为，

又因为不等式成立，

所以当时，，递增；当时，，递减，

所以为函数的极大值点，

因此有，即．

3．已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是 .

【答案】

【解析】，，

，，

当时，；

当时，，

即在上递增，

的图象关于对称，

向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，

即为偶函数，，

，

，

即，

，即.

已知函数为偶函数，当时，，的大小关系 。

【答案】

【解析】，令，.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

因为，

所以当时，，且单调递增.

又，所以，

在上单调递减，且

故.

5．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则 。

【答案】

【解析】x∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x）＜0，知f'（x）＞0，

所以（-∞，1）上f（x）是增函数．∵f（x）=f（2-x），∴f（3）=f（2-3）=f（-1）

所以f（-1）＜（0）＜，因此c＜a＜b．

6．设，，，则的大小 。

【答案】

【解析】设函数，

当时，，当时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增

所以故

当时，，当时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减

所以 故综上，

7．定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时， 。

【答案】

【解析】∵函数对任意都有，∴函数对任意都有，∴函数的对称轴为，∵导函数满足，∴函数在上单调递增，上单调递减，∵，∴，∵函数的对称轴为，∴，∵，∴∴∴，

∴，∴.

8．已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是 。

【答案】

【解析】根据题意，令h（x）＝xf（x），

h（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣h（x），则h（x）为奇函数；

当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＝f（x）+xf'（x）＜0，则h（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由函数h（x）为奇函数，则h（x）在（0，+∞）上为减函数，

所以h（x）在R上为减函数，a＝（20.6）•f（20.6）＝h（20.6），b＝（ln2）•f（ln2）＝h（ln2），c＝（）•f（）＝h（）＝h（﹣3），

因为0＜ln2＜1＜20.6，则有；

9．已知，则，，的大小关系正确的是 。

【答案】

【解析】f(x)＝1＋x－sinx，则，则函数f(x)为增函数.

， f(π)>f(3)>f(2).

10．定义在上的偶函数满足：对总有，则 。

【答案】

【解析】由题意知，函数为偶函数，且在区间上为减函数，

，，，

则，因此，.

11．已知，，，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系是 。

【答案】

【解析】对，，两边都取自然对数得

，，，

令，得，设，

得，∴在递减，∴，

∴，∴在递减，

又，，，∴，

∴.

【题组五 利用单调性解不等式】

1.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为　　

【答案】

【解析】设，则，

，，，是上的增函数，

又，的解集为，

即不等式的解集为．

2.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为 。

【答案】

【解析】设，因为为上奇函数，所以，

即为上奇函数对求导，得，

而当时，有故时，，即单调递增，

所以在上单调递增不等式

，（2）即（2）所以，解得

3.设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为 。

【答案】，

【解析】令，，

函数为偶函数，

时，，函数在上是增函数，

函数在上是减函数，

，，解得：，实数的取值范围，。

4.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 。

【答案】

【解析】由，，得：，

即，令，则当时，

得，即在上是减函数，

，，

即不等式等价为，

在是减函数，

由得，，

即，又，解得：，故。

5.定义域为的函数满足，则不等式的解为 。

【答案】

【解析】令，则，故在递增，

不等式，即，故，

故，解得：。

1．已知函数，其中为常数，求函数的单调区间；

【答案】见解析

【解析】函数的定义域为．

若时，则，所以在上单调递增；

若时，则当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增．

2．已知函数，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】，定义域为且.

①当时，则，则函数在上单调递增；

②当时，由，得，得.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

此时，函数的单调减区间为，单调增区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调减区间为，单调增区间为；

3．已知函数，，求函数的单调区间；

【答案】见解析

【解析】函数的定义域为，且．

①当时，对任意的，，则函数在区间上单调递减；

②当时，令，得；令，得.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

4．设函数，讨论函数的单调性

【答案】见解析

【解析】f(x)=，，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，令可得，

当时，解得，

令可得，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

5．已知函数，讨论函数的单调区间.

【答案】当时增区间，当时增区间，减区间

【解析】，

当时，∵，∴恒成立，∴在定义域上单调递增；

当时，令，得，

∵，∴，得；得；

∴在上单调递减，在上单调递增.

6．已知函数，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】由题意得，

①当时，则在上恒成立，

∴在上单调递减.

②当时，

则当时，单调递增，

当时，单调递减．

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

7．已知函数.求函数的单调区间；

【答案】见解析；

【解析】，

①若，，在上单调递增；

②若,当时，，当时，，

所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，

综上所述，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

【题组二 可因式分解的导函数两根】

1．已知函数（，为自然对数的底数，），讨论函数的单调性；

【答案】见解析

【解析】，

令.

当时，，所以函数是实数集上的减函数；

当时，当，在上单调递减；当在上单调递增；

当时，当在上单调递减；当在上单调递增；

2．已知函数，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】.

①当时，，在上单调递减；

②当时，令，解得，，

所以在和上单调递减，在上单调递增.

3．已知，，讨论的单调区间；

【答案】见解析

【解析】的定义域为，

，

当时，由，得；

由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，由，得或；

由，得；

所以在上单调递减，在和上单调递增；

当时，由，得在上单调递增；

当时，由，得或；由，得；

所以在上单调递减；在和上单调递增.

4．已知函数，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】由题,的定义域为,

,

当时,,则当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增；

当时,令,得或,

当时,,所以在上单调递减,在上单调递增；

当时,即时,所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减；

当时,在上恒成立,所以在上单调递减；

当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减

5．已知函数，其中，求函数的单调递减区间；

【答案】见解析

【解析】，

①当即时，恒成立，

∴在递增，无减区间；

②当即时，

1

+

0

-

0

+

极大值

极小值

∴减区间为.

③当，即时，

1

+

0

-

0

+

极大值

极小值

∴减区间为.

④当即时，

1

-

0

+

极小值

∴减区间为.

综上所述：

①当时，无减区间；

②当时，减区间为.

③当时，减区间为.

④当时，减区间为；

6．已知函数，讨论函数的单调性.

【答案】见解析

【解析】，函数的定义域是，

，

令，

当时，，即，

则在单调递减，

当时，的图象如图所示：

，

则在上，，在上，

则在单调递减，在单调递增，

综上，时，在单调递减，

当时，在单调递减，在单调递增．

7．已知函数，讨论函数的单调性；

【答案】见解析

【解析】，

.

①当时，，

当时，，当时，.

函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

②当时，，，则函数在上为增函数；

③当时，，

当，，当，.

函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为，无单调减区间；

当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

8．已知函数，讨论函数的单调性；

【答案】（见解析

【解析】，

①当时，，所以在单调递增，在单调递减，

②当时，或，在上单调递减，在单调递增，

③当时，

若时，在上单调递增，在和上单调递减，

若时，在上单调递减，

若时，在上单调递增，在和上单调递减.

9．已知函数，讨论的单调区间；

【答案】见解析

【解析】函数定义域为，

.

①若时，则，在上单调递减；

②若时，，令或.

又，

在上单调递减，在上单调递增；

③若时，，

令或.

又，

在上单调递减，在上单调递增；

【题组三 无法因式分解导函数】

1．若函数，，为常数，求函数的单调区间；

【答案】见解析

【解析】的定义域为，

①当，，所以，的单调增区间为，无单调减区间；

②当时，，解得，，

所以的单调增区间为，，单调递减区间为

2．已知函数，令，讨论函数的单调性；

【答案】详见解析

【解析】，

，

当时，恒成立，函数的单调递减区间是，无单调递增区间；

当时， ，

（ⅰ）时，即时，的解集是，

的解集是 ，

所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；

（ⅱ）当时，即时，函数恒成立，即函数的单调递减区间是，无单调递增区间；

综上可知，当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是.

3．已知函数，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】,

.

令..

若，即，则，即，

∴在上单调递减；

若，即.

由，

解得，.

∴当时， ，即，

在上单调递减；

当时， ，即，

在上单调递增；

4．已知函数，，讨论函数的单调性；

【答案】见解析

【解析】，，

令，，

若，即，则，

当时，，单调递增，

若，即，则，仅当时，等号成立，

当时，，单调递增.

若，即，则有两个零点，，

由，得，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

综上所述，

当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，

在上单调递减.

1．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且，则当时有 .

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】构造函数：，，所以函数定义在R上减函数，当时，有，f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的函数，所以有.故选：D

2．定义域为R的函数满足，且的导函数，则满足的x的集合为 .

【答案】

【解析】令，则因此：在R上单调递增

即：

3．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是 .

【答案】

【解析】构造函数法令，则，函数在上为减函数，因为，即，故为奇函数，于是在上为减函数，而不等式可化为，则，即.

【题组二 加-乘不等号型】

1．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为 .

【答案】

【解析】构造函数，其中，则，

所以，函数在定义域上为增函数，

在不等式两边同时乘以得，即，

所以，解得，因此，不等式的解集为.

2．已知定义在R上的连续函数满足，且，为函数的导函数，当时，有，则不等式的解集为 .

【答案】

【解析】，

，

在单调递增，

，

当时，，当时，，

又，当时，，当时，，

又满足，

图象关于直线对称，

当时，，当时，，

不等式等价于或

解得：.

3．已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，不等式的解集是 .

【答案】

【解析】要求解的不等式等价于，令，，所以在上为增函数，又因为是奇函数，故，所以，所以所求不等式等价于，所以解集为.

【题组三 减-除不等号型】

1．已知定义在上的函数是奇函数，且，当时,有，则不等式的解集是 .

【答案】

【解析】设，因为是上的奇函数，则是上的偶函数，且，又因为当时，，所以在上是单调递减的，根据题意画出的草图，解得当和时，；当和时，；则不等式的解集为：或，2．已知是定义在上的偶函数，其导函数为，且不等式恒成立，设函数，则不等式的解集为 .

【答案】

【解析】函数，则由是定义在上的偶函数，可得函数也是偶函数，且，所以，

则原不等式可变形为.

当时，

所以函数在上为增函数，

所以不等式可化为或或.

3．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是 .

【答案】

【解析】构造函数，令，则，

由可得，

则是区间上的单调递减函数，

且，

当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;

当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0

∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0

∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.

综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.

4．定义在上的函数,其导函数为,且,,则不等式的解集为 .

【答案】

【解析】设

又

则,可得是定义在的减函数.

又,

可化简为:,即

5．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为 .

【答案】

【解析】∵为偶函数，∴的图象关于对称，

∴的图象关于对称∴

设（），则

又∵，∴（），∴函数在定义域上单调递减

∵，而

∴∴．

6．设为上的函数，其导函数为，且，，则不等式的解集为 .

【答案】

【解析】设，，，，在上为增函数，∵，，，，，，7．已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 .

【答案】

【解析】设g（x），则g′（x）＝，

∵当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）>0，

∴当x＞0时，g′（x）>0，此时函数g（x）为增函数，

∵f（x）是奇函数，∴g（x）是偶函数，

即当x＜0时，g（x）为减函数．

∵f（﹣1）＝0，∴g（﹣1）＝g（1）＝0，

当x＞0时，f（x）>0等价为g（x）>0，即g（x）>g（1），此时x＞1，

当x＜0时，f（x）>0等价为g（x）<0，即g（x）<g（﹣1），此时﹣1＜x＜0，

综上不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），

【题组四 带常数不等号型】

1．函数的定义域为，，对，有，则不等式的解集为 .

【答案】

【解析】令，则，

，

，

，即在上单调递增，

又，，

故当时，，即，整理得，

的解集为

2．定义在上的函数满足,,则不等式的解集为 .

【答案】

【解析】令g(x)=f(x)+lnx (x>0) ，则g'(x)= ，

又函数满足，∴g'(x)= ，g(x)在单调递增.

∵，∴，

∴当，，当，，

∴当，则不等式成立.

3．设定义在上函数的导函数满足,则 .

【答案】

【解析】定义在上函数的导函数满足,

即，考虑函数，

即在单调递增，

所以，

所以.

4．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 .

【答案】

【解析】令，则，

∵，∴，

∴，在上为单调递增函数，

∵

∴原不等式可化为，

根据的单调性得

1．函数的极小值为_______．

【答案】.

【解析】，令得，当或时，，当时，，所以当时，函数有极小值，且极小值是．

2．函数的极值点是________.

【答案】

【解析】函数的定义域：，可得，

令，可得，当，函数是减函数，，函数是增函数，当时，函数取得极小值，故答案：.

3．函数的极大值是______.

【答案】1

【解析】．可得：，

时，；时，．

时，函数取得极大值，．故答案为：1．

【题组二 无参数的最值】

1．函数在区间上的最大值为 。

【答案】

【解析】，

令，解得： 或，

令，解得： ，

∴函数在和上递增，在上递减，

∴的极大值为 ，的极小值为，

又，，故所求最大值为．

2．设当时，函数的最大值为______.

【答案】

【解析】.

因为，所以，

当时，，，为增函数.

当时，，，为减函数.

所以.故答案为：

3．当时，函数的最大值是__________.

【答案】

【解析】因为 ，

所以在区间 上 ，函数单调递减，

在区间 上 ，函数单调递增，

因为 所以最大值.故答案为：

【题组三 利用极值求参数】

1．若函数在处有极值，则的值分别为 。

【答案】

【解析】,解得.

2．若函数有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是 。

【答案】

【解析】函数有唯一一个极值点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，，变形为

画出的图像

使得两个函数图像有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故，化简为

3．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 。

【答案】

【解析】的定义域是（0，+∞），，

若函数有两个不同的极值点，

则在（0，+∞）由2个不同的实数根，

故，解得：。

4．若是函数的极值点，则的值为 。

【答案】3

【解析】，由题意可知，或

当时，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；

当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去.

5．若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为 。

【答案】

【解析】，

∵函数在区间上不是单调函数，，

由，解得：或，

由，解得：，

的极小值为，

6．若函数没有极值，则a= .

【答案】

【解析】，，

当时，.令，得；令，得.在处取极小值.当时，方程必有一个正数解，

（1）若，此正数解为，此时，在上单调递增，无极值.（2）若，此正数解为，必有个不同的正数解，存在个极值.综上，.

7．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 .

【答案】

【解析】因为所以.

因为函数在其定义域内既有极大值也有极小值，

所以只需方程在有两个不相等实根.即，

令，则

.在递增，在递减.其图象如下:

∴，∴

8．已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是 .

【答案】

【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点。所以，解得.

【题组四 利用最值求参数】

1．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为 ．

【答案】﹣37

【解析】由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，

因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，

又因为x∈[﹣2，2]，

所以得当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，

所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3

所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5

因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．

答案为：﹣37

2．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】，当或时，，当时，，∴是函数的极小值点．

∵函数在区间上有最小值，即为极小值．

∴，解得．故答案为：．

3．已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】，.

当时，对任意的，，此时，函数在区间上为增函数，则函数在区间上没有最小值；

当时，令，可得，

当时，，当时，，

此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得.

因此，实数的取值范围是.故答案为：.

4．若函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1在区间[]上的最小值为0，则a＝_____．

【答案】

【解析】函数，

因为．所以，

令，则，，，

当时，，当时，，

从而，解得．

故答案为：．

5．已知函数若有最小值，则的最大值为____

【答案】2

【解析】二次函数 在 单调递增，当 单调递减

故在x=0时取得最小值，即a=2

【题组五 分类讨论求极值与最值】

1．已知函数.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）若有两个极值点，证明：.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）.

①当时，.

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

即函数只有一个极大值点，无极小值点.

②当时，，

令，得.

当时，，

所以在上单调递增；

当时，，

所以在上单调递减.

即函数有一个极大值点，有一个极小值点.

③当时，，此时恒成立，

即在上单调递增，无极值点.

综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；

当时，没有极值点.

（2）由（1）可知，当且仅当时，

有两个极值点，且为方程的两根，

即，

所以

.

令，

则恒成立，

所以在上单调递增，

所以，即.

2．设函数，

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）令，当时，证明.

【答案】（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ），，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，令可得，

当时，解得，

令可得，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

（Ⅱ），

当时，，

令，则，

所以在上单调递减．

取，，则，（1），

所以函数存在唯一的零点，

即，

所以当，，当，，，

故函数在单调递增，在，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也是最大值，

由可得，

两边同时取对数可得，，

所以，

故，

由基本不等式可得，因为，

所以，

所以，

又因为 即，

所以当时，成立．

3．已知函数，且.

（1）求的最小值；

（2）证明：存在唯一极大值点，且.

【答案】（1）0 （2）证明见解析

【解析】（1），令，解得.

，，为减函数，

，，为增函数.

（2），

构造函数，则，

令，.

故当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

结合零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，

当时，，当时，，当时，，

故在单调递增，在单调递减，在单调递增，

故存在唯一极大值点，

因为，所以，

故

4．已知函数.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）若有两个极值点，证明：.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）.

①当时，.

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

即函数只有一个极大值点，无极小值点.

②当时，，

令，得.

当时，，

所以在上单调递增；

当时，，

所以在上单调递减.

即函数有一个极大值点，有一个极小值点.

③当时，，此时恒成立，

即在上单调递增，无极值点.

综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；

当时，没有极值点.

（2）由（1）可知，当且仅当时，

有两个极值点，且为方程的两根，

即，

所以

.

令，

则恒成立，

所以在上单调递增，

所以，

即.

5．已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）当时，证明：对；

（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】(1)当时，，于是，.

又因为，当时，且.

故当时，，即.

所以，函数为上的增函数，于是，.

因此，对，；

(2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，

①当时，为上的增函数，

注意到，，

所以，存在唯一实数，使得成立.

于是，当时，，为上的减函数；

当时，，为上的增函数；

所以为函数的极小值点；

②当时，在上成立，

所以在上单调递增，所以在上没有极值；

③当时，在上成立，

所以在上单调递减，所以在上没有极值，

综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.

方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.

即在上存在零点.

设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.

即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.

下面证明，当时，函数在上存在极值.

事实上，当时，为上的增函数，

注意到，，所以，存在唯一实数，

使得成立.于是，当时，，为上的减函数；

当时，，为上的增函数；

即为函数的极小值点.

综上所述，当时，函数在上存在极值.

6．设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由

可得，

则，

当时，

时，，函数单调递增；

当时，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减.

所以当时，单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

①当时，，单调递减.

所以当时，，单调递减.

当时，，单调递增.

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，

可得当当时，，时，，

所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，单调递减，不合题意.

④当时，即，当时，，单调递增,

当时，，单调递减，

所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.

1．已知函数（，为常数），点的横坐标为0，曲线在点处的切线方程为

（1）求，的值及函数的极值；

（2）证明：当时，．

【答案】（1），，极小值为；无极大值（2）证明见解析.

【解析】（1）由已知代入切线方程得，

，

∴，

∴

∴，

，

令得，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以当时，

即为极小值；无极大值

（2）令，

则，

由（1）知

∴在上为增函数

∴，

即.

2．已知函数，.

（1）若，求函数在上的最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

令，解得（舍负），

①当时，即时，恒成立，在上单调递增，所以，

②当时，即时，在上单调递减，

在上单调递增，所以，

③当时，即时，恒成立，

在上单调递减，所以，

综上所述：

（2）当时，不等式恒成立，

所以 或

①由在上恒成立得

，，

设，则

，

在上单调递增，，

， ；

②由在上恒成立得

，

设则，

在上单调递增，

综上，所求 的取值范围为：.

【题组二 参变量分离法】

1．已知函数，其中为正实数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）设，若存在，使得不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】（1），

为开口向上的二次函数，

①若即时，的解集为，

所以当时，函数单调递增，

时，函数单调递减，

时，函数单调递增；

②若即时，恒成立，

函数在上单调递增；

③若即时，

的解集为，

所以当时，函数单调递增，

时，函数单调递减，

时，函数单调递增.

综上所述，当时，函数单调递增区间是，

单调递减区间是；

当时，函数单调递增区间是；

当时，函数单调递增区间是，

单调递减区间是.

（2），

若存在，使得不等式成立，则，

，

由（1）知，当即时，函数在上单调递增，

，

解得，所以；

当即时，

由（1）知在上单调递减，在上单调递增，

所以，

令，，

则，函数在区间上单调递增，

所以恒成立，则；

当即时，函数在区间上单调递减，

不成立.

综上所述，的取值范围为.

2．已知函数.

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值.

【答案】（1）；单调递增区间为，单调递减区间为；（2）0.

【解析】（1，

令，得.

令，得.

则，，且在上单调递增，，

且当时，；当时，，

则，且单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为，所以.

令，则，易知在上单调递增.

又，，

则存在唯一的，使得，

且当时，；当时，，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以.

又，，即，

则.

因为，所以.

因为存在实数，使得成立，

所以，又，则整数的最小值为0.

3．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．

【解析】（1）得.

得，解得

故的单调递增区间是

（2）令,

则有

当时，

所以在上单调递减，

故当时，，即当时，

（3）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意．

当时，对于，有则

从而不存在满足题意．

当时，令，

由得，．

解得

当时，，故在内单调递增．

从而当，即

综上吗，k的取值范围是

4．已知（

（1）当a＝0时，求f（x）的极值；

（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；

（3）若对任意的a∈（2, 3），x­1, x2∈[1, 3]，恒有（m－ln3）a－2ln3＞|f（x1）－f（x­2）|成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）①当时，在和上是增函数，在上是减函数；②当时，在上是增函数；③当时，在和上是增函数，在上是减函数 （3）.

【解析】（1）当时，

由,解得，可知在上是增函数，在上是减函数.

∴的极大值为，无极小值.

①当时，在和上是增函数，在上是减函数；

②当时，在上是增函数；

③当时，在和上是增函数，在上是减函数

（3）当时，由（2）可知在上是增函数，

∴.

由对任意的a∈（2, 3），x­1, x2∈[1, 3]恒成立，

∴

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

由于当时，，∴.

5．已知函数．

（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1），，.

，∴切点坐标为(1,1+e),

∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,

切线与坐标轴交点坐标分别为,

∴所求三角形面积为;

（2）解法一：,

，且.

设,则

∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，

当时，,∴,∴成立.

当时， ，，,

∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，

因此

>1,

∴∴恒成立；

当时， ∴不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).

解法二：等价于

,

令,上述不等式等价于,

显然为单调增函数，∴又等价于，即，

令,则

在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，

∴,

，∴a的取值范围是[1,+∞).

6．已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）

【解析】(1)当时，，，

由于，故单调递增，注意到，故：

当时，单调递减，

当时，单调递增.

(2)由得，，其中，

①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；

②.当时，分离参数a得，，

记，，

令，

则，，

故单调递增，，

故函数单调递增，，

由可得：恒成立，

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

因此，,

综上可得，实数a的取值范围是.

1．已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

2．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求的取值范围．

【答案】（1）详见解析；(2).

【解析】（1）由题，，

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

令，得或，所以在上单调递减，在

，上单调递增.

（2）由（1）知，有三个零点，则，且

即，解得，

当时，，且，

所以在上有唯一一个零点，

同理，，

所以在上有唯一一个零点，

又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，

综上可知的取值范围为.

3．已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）由题意知：定义域为：且

令，

，

在上单调递减，在上单调递减

在上单调递减

又，

，使得

当时，；时，

即在上单调递增；在上单调递减

则为唯一的极大值点

即：在区间上存在唯一的极大值点.

（2）由（1）知：，

①当时，由（1）可知在上单调递增

在上单调递减

又

为在上的唯一零点

②当时，在上单调递增，在上单调递减

又

在上单调递增，此时，不存在零点

又

，使得

在上单调递增，在上单调递减

又，

在上恒成立，此时不存在零点

③当时，单调递减，单调递减

在上单调递减

又，

即，又在上单调递减

在上存在唯一零点

④当时，，

即在上不存在零点

综上所述：有且仅有个零点

【题组二 已知零点求参数】

1．已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求的值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）当时，等价于．

设函数，则．

当时，，所以在单调递减．

而，故当时，，即．

（2）设函数．

在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．

（i）当时，，没有零点；

（ii）当时，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

故是在的最小值．

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点，

由（1）知，当时，，所以．

故在有一个零点，因此在有两个零点．

综上，在只有一个零点时，．

2．已知函数.

（1）若有三个不同的零点，求a的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）令，则.

设，则，

令，得；

令，得或，

则在和上单调递减，在上单调递增，

故，.

结合的图象

可知的取值范围为.

（2）不等式，

即，

整理得.

设，则.

因为，所以，

所以，

则.设，则

.

因为，所以，，

所以，所以在上单调递减，

所以，

故，即a的取值范围是.

3．已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【解析】（1）当时，，，

令，解得，令，解得，

所以的减区间为，增区间为；

（2）若有两个零点，即有两个解，

从方程可知，不成立，即有两个解，

令，则有，

令，解得，令，解得或，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，，

而时，，当时，，

所以当有两个解时，有，

所以满足条件的的取值范围是：.