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导数表达式：先看结构，再落笔计算

给出复杂表达式时，求导前问两件事：

化简和求导的分工

给出复杂表达式时，求导前问两件事：

  1. 是否能把函数改写成更简单但定义域等价的形式？
  2. 若不能完全化简，外层运算是什么：和差、积、商还是复合？

化简可能降低计算量，但不能擅自扩大定义域。例如 $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ 只在 $x\ne1$ 时成立；求导时原函数在 $1$ 无定义，不能把 $x=1$ 补回去。

结构识别表

  1. 幂的复合：$[u(x)]^n$ 的导数为 $n[u(x)]^{n-1}u'(x)$。当 $n$ 为实数时，要先检查 $u(x)$ 所给实函数的定义域。
  2. 指数复合：$e^{u(x)}$ 的导数为 $e^{u(x)}u'(x)$。指数整体是外层，$u'(x)$ 不能漏。
  3. 对数复合：$\ln u(x)$ 的导数为 $u'(x)/u(x)$，并且原函数要求 $u(x)>0$。
  4. 三角复合：$(\sin u(x))'=\cos u(x)u'(x)$；$(\tan u(x))'=u'(x)/\cos^2u(x)$，后者还要求 $\cos u(x)\ne0$。三角导数公式以弧度制为前提。
  5. 积与商：$(uv)'=u'v+uv'$；$(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$，商法则同时要求 $v(x)\ne0$。

对数求导何时合理

当函数是大量因子相乘、相除，或变量同时出现在底数和指数中时，取对数会把乘除改成加减，把幂改成系数。必须先在一个符号固定的区间上取对数；若函数可为负，应对 $|y|$ 取对数并在最终说明讨论区间。

例 1：复合函数的层次

求 $y=(1+x^2)^5$ 的导数。

外层是五次幂，内层是 $u=1+x^2$。所以

$$ y'=5(1+x^2)^4\cdot2x=10x(1+x^2)^4. $$

写出 $u$ 的目的不是形式好看，而是避免把内层导数 $2x$ 漏掉。

例 2：商法则与先化简

求 $y=\frac{x^2+1}{x}$ 的导数，$x\ne0$。

可先化为 $y=x+\frac1x$，故

$$ y'=1-\frac1{x^2}\quad(x\ne0). $$

也可用商法则：

$$ y'=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}=1-\frac1{x^2}. $$

两种路线一致，定义域仍是 $x\ne0$。

例 3：对数求导的合法区间

求 $y=x^x$ 在 $x>0$ 上的导数。

在 $x>0$ 上 $y>0$，可取对数：$\ln y=x\ln x$。两边求导得

$$ \frac{y'}y=\ln x+1. $$

所以

$$ y'=x^x(\ln x+1),\qquad x>0. $$

限制 $x>0$ 不是装饰：实数范围内 $x^x$ 在负数处并非处处有统一定义。

例 4：隐函数思想的最低限度版本

由 $x^2+y^2=1$ 求上半圆上 $y'$。

把 $y$ 视作 $x$ 的函数，两边对 $x$ 求导：

$$ 2x+2yy'=0. $$

上半圆 $y=\sqrt{1-x^2}>0$，故

$$ y'=-\frac{x}{y}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1. $$

端点 $x=\pm1$ 处分母为零，切线竖直，不能把有限导数硬写进去。

本地题源对应

本页服务于后续所有导数计算，并在题库页与考点 49--55 的复合函数、对数、分式、参数表达式相连。对分式型函数，先参考本地“分式型函数求值域”的等价变形与定义域检查，再决定是否使用导数。