用导数研究单调性、极值与最值

先分清三个概念

对区间 $I$：

术语混乱会让之后的“导数符号表”失去对象。每次都先写清讨论区间与定义域。

在区间 $I$ 内，若对任意 $x\in I$ 有 $f'(x)>0$，则 $f$ 在 $I$ 上递增；若 $f'(x)<0$，则递减。这一结论可由拉格朗日中值定理严格证明：任取 $x_1<x_2$，存在 $\xi\in(x_1,x_2)$ 使

f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1).

两因子都正便得递增。高中解题可直接使用该定理的结论，但要保留它的条件：函数在闭区间连续、开区间可导。

反向叙述要谨慎：$f$ 递增并不推出每一点都有 $f'(x)>0$，例如 $f(x)=x^3$ 在全体实数上严格递增，但 $f'(0)=0$。

例 1：完整的符号表

求 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间与极值。

定义域为 $\mathbb R$。$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。临界点为 $-1,1$。

\begin{array}{c|ccc} x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,+\infty)\\\hline f'(x)&+&-&+\\ f(x)&\nearrow&\searrow&\nearrow \end{array}

所以递增区间为 $(-\infty,-1)$ 与 $(1,+\infty)$，递减区间为 $(-1,1)$。又 $f'$ 在 $-1$ 处由正变负，故 $f(-1)=2$ 为极大值；在 $1$ 处由负变正，故 $f(1)=-2$ 为极小值。

若 $f'$ 在 $x_0$ 左正右负，则 $x_0$ 为极大值点；左负右正，则为极小值点。这是充分条件。

若 $f$ 在内点 $x_0$ 可导且取得极值，则 $f'(x_0)=0$。这是必要条件，不能倒用。$f(x)=x^3$ 有 $f'(0)=0$，但 $0$ 不是极值点。

例 2：导数为零不等于极值

研究 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 的性质。

虽然 $f'(0)=0$，但 $f'(x)=3x^2>0$ 对所有 $x\ne0$ 成立，故函数在 $(-\infty,0)$ 与 $(0,+\infty)$ 都递增，并未在 $0$ 的两侧改变单调性。因而 $0$ 不是极值点。

若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，则绝对最大、最小值一定存在。候选点只可能来自：

逐一比较函数值，而非只比较极值。

例 3：闭区间最值

求 $f(x)=x^3-3x^2+1$ 在 $[-1,3]$ 上的最大值与最小值。

$$ f'(x)=3x(x-2). $$

内点候选值为 $x=0,2$。计算

f(-1)=-3,\quad f(0)=1,\quad f(2)=-3,\quad f(3)=1.

所以最大值为 $1$，最小值为 $-3$。端点没有被遗漏，故结论完整。

本页对应考点 50：利用导数研究函数的单调性与考点 53：函数的极值与最值。图形题中，图像先是题干信息；需要新作的辅助线、符号表和比较表应放入“查看解析”，避免把答案提前塞给学生。