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给定函数 $y=f(x)$ 和一点 $x=a$，我们要定义“在 $a$ 附近每单位 $x$ 的瞬时变化量”。这个对象叫 $f'(a)$。它首先是一个极限；“切线斜率”和“瞬时速度”是该极限在几何和物理中的解释。
一条历史线索：问题先于符号
- 古希腊的穷竭法已经在逼近面积和体积：不断缩小误差，但没有现代极限语言。
- 17 世纪，费马研究极大、极小与切线，牛顿研究运动中的瞬时速度，莱布尼茨发展 $dy/dx$ 的记号。三人面对的是同一种“无限小变化”问题。
- 19 世纪，柯西、魏尔斯特拉斯把“无限小”改写为可检验的极限定义。今天高中所用的导数，属于这一条严格化后的路线。
历史的启发是：切线不是“和曲线只交一个点的直线”。圆的切线可以在一个点相交，但某些曲线的切线也可能再次与曲线相交。切线的定义来自割线位置的极限。
从平均变化率到导数定义
当 $x$ 从 $a$ 变到 $a+h$，且 $h\ne0$ 时，函数增量为
$$
\Delta y=f(a+h)-f(a).
$$
割线斜率，也就是平均变化率，是
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
$$
若当 $h\to0$ 时这个比值趋于有限实数 $L$，就定义
$$
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=L.
$$
这里的条件不能省略：$a+h$ 必须在定义域中；差商中的 $h$ 不可为 $0$；极限必须存在且有限。左右极限不相等、趋于无穷或振荡时，导数不存在。
两个解释，但不要混淆定义
- 几何解释：若曲线在 $(a,f(a))$ 处存在切线，则该切线斜率是 $f'(a)$，方程为
$$
y-f(a)=f'(a)(x-a).
$$
- 物理解释：若 $s=s(t)$ 表示位置，$s'(t)$ 是时刻 $t$ 的瞬时速度；它不是 $s(t)/t$，而是位置增量与时间增量的极限比。
可微为什么一定连续
若 $f'(a)$ 存在，则当 $h\ne0$ 时
$$
f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
$$
当 $h\to0$，第一因子趋于 $0$，第二因子趋于有限数 $f'(a)$，所以乘积趋于 $0$。这说明
$$
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
$$
因此“可导 $\Rightarrow$ 连续”。反过来不成立：$f(x)=|x|$ 在 $0$ 连续，但左导数为 $-1$、右导数为 $1$，故 $0$ 处不可导。
例：从定义判断一个尖点
设 $f(x)=|x|$。在 $x=0$ 处，
$$
\frac{f(0+h)-f(0)}h=\frac{|h|}{h}=
\begin{cases}
1,&h>0,\\
-1,&h<0.
\end{cases}
$$
左右极限不同，所以 $f'(0)$ 不存在。图像的“尖点”只是结果；真正理由是差商极限不存在。
三个基本极限
下列极限是初等求导的地基。后续推导会清楚指出何处使用它们。
1. 三角函数基本极限
当 $0<h<\frac\pi2$ 时，单位圆中的面积比较给出
$$
\sin h<h<\tan h.
$$
两边同除以正数 $h$，再利用 $\tan h=\frac{\sin h}{\cos h}$，有
$$
\cos h<\frac{\sin h}{h}<1.
$$
令 $h\to0$，由夹逼定理得
$$
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.
$$
随后由 $1-\cos h=\frac{\sin^2h}{1+\cos h}$ 可得
$$
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
$$
2. 自然常数 $e$
我们把 $e$ 选作唯一满足
$$
\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1
$$
的正底数。这个选择不是随意的：它恰好让指数函数的变化率等于自身。对一般 $a>0,a\ne1$，写成 $a^x=e^{x\ln a}$ 即可。
3. 对数基本极限
由 $\ln(1+u)$ 是 $e^x$ 的反函数关系，或由积分/夹逼理论，可得到
$$
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1.
$$
在高中讲义中，我们把它作为由指数函数反函数性质推出的标准极限使用。
从定义推出的求导公式
常数与幂函数
常数 $c$：
$$
(c)'=\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=0.
$$
对正整数 $n$，二项式定理给出
$$
\begin{aligned}
(x^n)'&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\left(nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}\right)\\
&=nx^{n-1}.
\end{aligned}
$$
对于 $x\ne0$，由 $x^n\cdot x^{-n}=1$ 和乘法法则可推出负整数幂；有理幂可借助反函数或隐函数关系推出。高中计算中统一使用
$$
(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}
$$
时，必须同时保留原函数在实数范围内的定义域。例如 $\sqrt{x}$ 的导数讨论只在 $x>0$ 进行。
例：不用背公式求 $(\sqrt{x})'$
当 $x>0$ 时，
$$
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}h
=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}h\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}
=\frac1{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
$$
令 $h\to0$，得到
$$
(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}.
$$
有理化不是技巧口号：它的目的，是让差商中的 $h$ 被消去，才能讨论极限。
运算法则如何来
设 $u,v$ 在 $x$ 处可导。
和、差、常数倍
差商可以线性拆开，因此
$$
(u\pm v)'=u'\pm v',\qquad(cu)'=cu'.
$$
乘法法则
故意补上并减去 $u(x+h)v(x)$：
$$
\begin{aligned}
&\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}h\\
={}&u(x+h)\frac{v(x+h)-v(x)}h+v(x)\frac{u(x+h)-u(x)}h.
\end{aligned}
$$
可导蕴含连续，所以 $u(x+h)\to u(x)$。取极限得
$$
(uv)'=u'v+uv'.
$$
倒数与商法则
若 $v(x)\ne0$，由 $v\cdot\frac1v=1$ 及乘法法则，
$$
\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}.
$$
于是
$$
\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad v\ne0.
$$
分母条件是公式的一部分，不是备注。
链式法则
令 $y=f(u)$、$u=g(x)$。当 $\Delta u\ne0$ 时，
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}.
$$
在 $g'(x)$ 存在且外层函数在 $u=g(x)$ 可导的条件下，令 $\Delta x\to0$，得到
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx},\qquad [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x).
$$
它不是“里导外导相乘”的押韵句，而是两个变化率相乘。
基本初等函数的导数
指数与对数
由 $e^{x+h}=e^xe^h$，
$$
\begin{aligned}
(e^x)'&=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}h\\
&=e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h=e^x.
\end{aligned}
$$
再用 $a^x=e^{x\ln a}$ 和链式法则，
$$
(a^x)'=a^x\ln a\quad(a>0,a\ne1).
$$
设 $y=\ln x$，则 $x=e^y$。两边对 $x$ 求导：
$$
1=e^y\frac{dy}{dx}=x\frac{dy}{dx},
$$
所以
$$
(\ln x)'=\frac1x\quad(x>0),\qquad (\log_a x)'=\frac1{x\ln a}.
$$
正弦、余弦、正切
利用加法公式和前面的三角基本极限：
$$
\begin{aligned}
(\sin x)'&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\
&=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}\\
&=\cos x.
\end{aligned}
$$
同理
$$
(\cos x)'=-\sin x.
$$
在 $\cos x\ne0$ 的点，由商法则，
$$
(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x.
$$
最后，所有复合形式都由链式法则给出，例如
$$
(\sin u)'=\cos u\cdot u',\quad (e^u)'=e^u u',\quad(\ln u)'=\frac{u'}u\ (u>0).
$$
方法边界：何时不该求导
分式值域、简单最值问题有时用分离常数、换元、图像或基本不等式更短、更透明。选择方法的标准不是“我会不会求导”，而是：哪个变换最直接暴露定义域、等号条件或函数范围。求导是在研究变化，不是所有最值题的默认动作。
费曼讲题任务
- 用自己的话解释 $h$ 为什么不能直接取 $0$，却又要让 $h$ 趋于 $0$。
- 不看讲义，推导 $(x^3)'$ 与 $(\sin x)'$，并指出各自用了什么定理。
- 解释乘法法则中为什么要“补一项再减一项”。
- 写出 $(\ln(3x^2-1))'$ 的定义域，并解释分母与对数条件分别来自哪里。