当目标是 $A(x)\ge B(x)$，有两条值得先检查的入口：
导数不是更高级的装饰，而是在代数结构不透明时，研究整体变化的工具。两种方法得到的等号条件必须互相吻合。
若函数 $f$ 在区间上是凸的，图像在该区间位于任意切线之上：
高中中不必先建立完整的凸性理论，也可以直接证明特定不等式：把“左边减右边”记作 $H(x)$，验证 $H(a)=0$ 且 $H$ 在 $a$ 左减右增，或验证 $H$ 取最小值 $0$。此时所谓“切线法”实际上仍是构造差函数。
证明对任意 $x\in\mathbb R$，$e^x\ge x+1$。
令 $H(x)=e^x-x-1$。则
当 $x<0$ 时 $H'<0$，当 $x>0$ 时 $H'>0$，故 $H$ 在 $0$ 处取最小值 $H(0)=0$。于是 $e^x\ge x+1$，等号当且仅当 $x=0$。
直线 $y=x+1$ 正是 $y=e^x$ 在 $x=0$ 处的切线；不等式来自“差函数最小”，不是来自图形直觉的跳步。
证明对任意 $x>0$，$\ln x\le x-1$。
令 $H(x)=x-1-\ln x$。$H'(x)=\frac{x-1}{x}$，所以 $H$ 在 $x=1$ 处取最小值 $0$。故结论成立，等号当且仅当 $x=1$。
这个结论在分式函数和值域题中常与基本不等式配合使用；先确认变量范围 $x>0$，否则 $\ln x$ 本身无意义。
研究 $F(x)=0$，按以下顺序组织：
介值定理不能跨越不连续点使用。例如 $1/x$ 在 $[-1,1]$ 两端异号，却没有零点；因为 $x=0$ 不在定义域。
证明 $F(x)=x^3+x-1$ 在 $(0,1)$ 内有且只有一个零点。
$F$ 是多项式，故在 $[0,1]$ 连续。$F(0)=-1<0$，$F(1)=1>0$，所以在 $(0,1)$ 内至少有一个零点。
又 $F'(x)=3x^2+1>0$ 对全体实数成立，因此 $F$ 严格递增，零点至多一个。综上，在 $(0,1)$ 内恰有一个零点。
若可导函数 $F$ 有两个不同零点 $x_1<x_2$，罗尔定理保证存在 $c\in(x_1,x_2)$ 使 $F'(c)=0$。因此：
这只是上界；要说“恰有”，仍需补存在性。
证明 $F(x)=x^3-3x+3$ 恰有一个实根。
它只有两个零点 $-1,1$。若 $F$ 有四个不同实根，反复用罗尔定理可推出 $F'$ 至少有三个不同零点，矛盾。因此 $F$ 至多有三个实根；进一步，由 $F'$ 只有两个零点，只能得到至多三个，而不能仅凭这一点断言至多两个。
实际计算 $F(-1)=5$、$F(1)=1$，且两处均为正；又 $F$ 在 $(-\infty,-1)$ 递增、$(-1,1)$ 递减、$(1,+\infty)$ 递增，所以只可能在左侧有一个根，故 $F$ 恰有一个实根。这个例子提醒：罗尔定理给出的粗上界要结合极值符号才能收紧。
本页对应考点 54：利用导数证明不等式和考点 55：利用导数研究函数零点问题，并与“分式型函数求值域”资料形成方法边界：能代数解决时，要能说明为什么；需要研究变化、根数和最佳常数时，再让导数接手。