这一讲只解决一个问题：已知函数 $y=f(x)$，如何严谨地写出它在点 $P(a,f(a))$ 处的切线，并辨别题目究竟给的是横坐标、切点、斜率，还是“另一条”经过某点的切线。
这一讲只解决一个问题：已知函数 $y=f(x)$，如何严谨地写出它在点 $P(a,f(a))$ 处的切线，并辨别题目究竟给的是横坐标、切点、斜率，还是“另一条”经过某点的切线。
若 $f$ 在 $x=a$ 处可导，则曲线 $y=f(x)$ 在 $P(a,f(a))$ 处的切线为
这不是记忆模板，而是点斜式：切线经过 $P$，斜率是导数 $f'(a)$。因此写题必须先确定两个对象：切点坐标与该点导数值。
若 $f'(a)=0$，切线是水平线 $y=f(a)$；若题目把曲线改为参数曲线或隐函数，仍需先把切点和切线斜率求出，不能直接套本页公式。
设直线 $l:y=kx+b$ 与曲线 $y=f(x)$ 在横坐标 $x=t$ 处相切。相切至少给出两件事：
第一式是“公共点”，第二式是“斜率相等”。它们是必要条件；在高中常见的光滑函数题中，联立后再回代检验，便能筛出切点。不要把“方程有重根”当作无需说明的魔法：对 $f(x)-(kx+b)$ 来说，切点处函数值和一阶变化率同时为零，才反映了相切。
求曲线 $y=x^3-3x+2$ 在 $x=2$ 处的切线。
令 $f(x)=x^3-3x+2$，则 $f(2)=4$，$f'(x)=3x^2-3$，所以 $f'(2)=9$。
切线经过 $(2,4)$，斜率为 $9$，故
即 $y=9x-14$。
求曲线 $y=x^2-2x+3$ 中斜率为 $4$ 的切线。
设切点横坐标为 $t$。由于切线斜率等于 $f'(t)$，
故 $t=3$。再算点的纵坐标：$f(3)=6$。所求切线是
即 $y=4x-6$。这里先由斜率找 $t$，再由函数值找点，顺序不能倒置。
求曲线 $y=x^2$ 过点 $(0,-1)$ 的切线。
设切点为 $(t,t^2)$。该点切线斜率为 $2t$，故切线为
即 $y=2tx-t^2$。它经过 $(0,-1)$ 当且仅当 $-t^2=-1$，故 $t=\pm1$。
因此有两条切线：
“过曲线外一点”可能有零条、一条或多条切线；设切点参数 $t$ 是统一处理法。
由导数定义可写成
这说明当 $h$ 很小时，函数的变化首先由 $f'(a)h$ 决定；切线 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 是曲线在 $a$ 附近的一阶近似，而不是在整个定义域都“等于”原函数。
估算 $\sqrt{4.04}$。令 $f(x)=\sqrt{x}$，在 $a=4$ 处有 $f(4)=2$，$f'(4)=\frac14$。
取 $h=0.04$，线性近似给出
近似号来自余项 $r(0.04)$ 未必为零；这正是“切线近似”与“函数恒等式”的边界。
本页对应本地一轮复习的考点 49：导数的几何意义与切线问题。题库页会保留原题图形和原题文本；上课时先要求学生把“设切点横坐标为 $t$”这一句说完整，再进入计算。