导数核心训练：从定义到压轴表达

故 $f'(a)=2a$，从而 $f'(x)=2x$。

差商为 $|h|/h$。右极限为 $1$，左极限为 $-1$，故导数不存在。

$1+x^2>0$ 对任意实数成立，定义域为 $\mathbb R$。$y'=\frac{2x}{1+x^2}$。

定义域为 $x\ne0$。由商法则，

$f(1)=0$，$f'(1)=1$，故切线为 $y=x-1$。

设切点横坐标为 $t$。切线为 $y-t^3=3t^2(x-t)$，即 $y=3t^2x-2t^3$。代入 $(1,0)$ 得 $t^2(3-2t)=0$，故 $t=0$ 或 $t=\frac32$。

切线为 $y=0$ 与 $y=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4}$。

$f(9)=3$，$f'(9)=\frac16$。取 $h=0.12$：

$f'(x)=3(x-1)(x-3)$。递增区间为 $(-\infty,1)$、$(3,+\infty)$，递减区间为 $(1,3)$。$f(1)=4$ 为极大值，$f(3)=0$ 为极小值。

$f'(x)=1-\frac4{x^2}$，驻点 $x=2$。比较 $f(1)=5$，$f(2)=4$，$f(5)=\frac{29}{5}$，故最小值为 $4$，最大值为 $\frac{29}{5}$。

$f'(x)=3x^2\ge0$，且在 $0$ 两侧不改变符号；$f$ 在两侧均递增，故 $0$ 不是极值点。$f'(0)=0$ 仅是必要条件，不是充分条件。

二次函数开口向上，最小值非负等价于判别式不大于零：$a^2-4\le0$，故 $-2\le a\le2$。也可对 $x^2+ax+1$ 求导找最小点。

$f'(x)=3x^2+a$。要求对任意 $x$ 非负，且 $3x^2$ 最小为 $0$，故 $a\ge0$。

令 $H(x)=x-1-\ln x$。$H'(x)=\frac{x-1}{x}$，故 $H$ 在 $1$ 处取最小值 $0$。所以不等式成立，等号当且仅当 $x=1$。

令 $H(x)=e^x-x-1$，有 $H'(x)=e^x-1$，故 $H$ 在 $0$ 处取最小值 $0$。直线 $y=1+x$ 是 $y=e^x$ 在 $(0,1)$ 处的切线。

$F(0)=-1<0,F(1)=1>0$，连续性给出存在。$F'(x)=3x^2+1>0$，严格递增给出唯一性。

令 $g(x)=x+1/x$，其最小值为 $2$（在 $x=1$ 取到），两侧分别单调。故 $m<2$ 无根，$m=2$ 一个根，$m>2$ 两个根。

令 $F=x+\ln x$。$F'(x)=1+1/x>0$，故至多一个根。又 $F(1/2)=1/2-\ln2<0,F(1)=1>0$，故至少一个根，结论成立。

$\ln y=x\ln x$，故 $y'/y=\ln x+1$，所以 $y'=x^x(\ln x+1)$。

隐式求导得 $2x+2yy'=0$，故

原定义域为 $x\ne1$。在该定义域 $f=x+1$，故 $f'(x)=1\ (x\ne1)$。不能把 $x=1$ 加入导数定义域。