参数、构造函数与恒成立问题

这类题真正问什么

参数题常把“存在、任意、恰有、恒成立”藏进文字里。先把量词译成数学语言：

导数的作用是把“对所有 $x$”转化为函数的最值或单调性问题，而不是先对参数盲目分类。

要使 $f(x)\ge g(x)$ 在区间 $I$ 恒成立，令

$$ h(x)=f(x)-g(x). $$

问题等价于 $\min_{x\in I}h(x)\ge0$。若参数 $a$ 只出现在常数项，常可整理为 $a\ge \max\varphi(x)$ 或 $a\le\min\varphi(x)$；方向由移项决定，不能凭感觉记。

例 1：参数与最值的方向

求实数 $a$ 的范围，使 $x^2-2x+a\ge0$ 对一切 $x\in\mathbb R$ 成立。

令 $h(x)=x^2-2x+a=(x-1)^2+a-1$。由于 $(x-1)^2\ge0$，$h$ 的最小值为 $a-1$。恒成立当且仅当

a-1\ge0,

即 $a\ge1$。也可用 $h'(x)=2x-2$ 找到最小点 $x=1$；两种方法结论一致。

当题目要求证明 $A(x)\ge B(x)$，差 $A(x)-B(x)$ 的正负就是结论本身，因此定义差函数最自然。当题目给出两变量方程并要求比较时，若已知一个变量能由另一个表示，应消元成一元函数；若有相同结构，则可把重复部分看作一个新变量。构造的合法性来自“它的符号或零点正好编码了原命题”。

例 2：构造差函数证明不等式

证明：对任意 $x>0$，有 $\ln x\le x-1$。

令 $h(x)=x-1-\ln x$。定义域为 $x>0$，

h'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.

当 $0<x<1$ 时 $h'<0$，当 $x>1$ 时 $h'>0$，故 $h$ 在 $x=1$ 处取全局最小值。$h(1)=0$，于是 $h(x)\ge0$，即 $\ln x\le x-1$。等号只在 $x=1$ 成立。

研究 $f(x;a)$ 的单调性时，核心是 $f_x'(x;a)$ 在指定 $x$ 区间内的符号。常见操作：

例 3：在指定区间上递增

求 $a$ 的范围，使 $f(x)=x^3-3ax$ 在 $[0,2]$ 上单调不减。

$$ f'(x)=3(x^2-a). $$

单调不减要求对每个 $x\in[0,2]$ 有 $x^2-a\ge0$。由于 $x^2$ 在该区间的最小值为 $0$，这等价于 $a\le0$。

当 $a=0$ 时 $f'(0)=0$ 而其余点 $f'>0$，函数仍单调不减，故边界要取到。

对 $F(x)=0$ 在区间 $I$ 恰有一个根，完整叙述通常有三层：

只证明 $F'(x)>0$ 只能证明“至多一个根”，还缺“至少一个根”。

例 4：存在与唯一必须分别说

证明方程 $x+\ln x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 内恰有一个实根。

令 $F(x)=x+\ln x$。$F$ 在 $(0,+\infty)$ 连续，且

F'(x)=1+\frac1x>0,

故 $F$ 严格递增，方程至多一个根。又 $F(\frac12)=\frac12-\ln2<0$，$F(1)=1>0$，由介值定理在 $(\frac12,1)$ 内至少有一个根。因此在 $(0,+\infty)$ 内恰有一个实根。

本页对应考点 51：导数与参数范围问题和考点 52：构造函数法。本地题中的“存在/任意/恰有”会在原题题库保留；学生解释时应先读出量词，再选择最值、单调或零点路线。