每组三题按“识别—变式—表达”安排。先只看题目，写下你数的对象和分类/分步依据；再展开解析检查。
用 $0,1,2,3$ 组成 5 位数，允许重复，首位非零，多少个？
首位 3 种，后四位各 4 种，故 $3\cdot4^4=768$。
用 $1,2,3,4$ 组成长度为 6 的序列，允许重复，恰有两个 1，多少个？
先选两个 1 的位置 $C_6^2$，其余位置各有 3 种，得 $C_6^2\cdot3^4=1215$。
由 $0,1,2,3,4,5$ 中不同数字组成三位奇数，多少个？
个位先选 $1,3,5$ 共 3 种；百位从非零且未用数字中选 4 种；十位从余下 4 个中选，得 $3\cdot4\cdot4=48$。
7 人排队，$A,B$ 相邻，多少种？
捆绑后为 6 个单位：$6!\cdot2!$。
5 本不同数学书与 4 本不同英语书排成一排，数学书必须排在一起，多少种？
数学书捆为一体，连同 4 本英语书有 5 个单位：$5!\cdot5!$。
8 人排队，$A,B$ 相邻且 $C,D$ 相邻，多少种？
两个团块及其余 4 人共 6 个单位，团内各可换序：$6!\cdot2!\cdot2!$。
6 人排队，$A,B$ 不相邻，多少种？
总数 $6!$，相邻数为 $5!\cdot2!$，结果 $480$。
7 人排队，$A,B,C$ 两两不相邻，多少种？
先排另 4 人 $4!$，再从 5 个空选 3 个并排列 $A_5^3$，得 $4!A_5^3$。
4 名女生、5 名男生排队，女生两两不相邻，多少种？
先排 5 名男生 $5!$，形成 6 空，选 4 空安排女生 $A_6^4$，得 $5!A_6^4$。
4 本不同书任意分给甲、乙两人，每人至少一本，多少种？
每本有两种去向共 $2^4$，减去全给甲、全给乙两种，得 $14$。
6 本不同书分给甲、乙、丙三人，甲得 3 本、乙得 2 本、丙得 1 本，多少种？
先给甲选 $C_6^3$，再给乙选 $C_3^2$，余下给丙，得 $60$。
5 名不同学生分成 2 人组与 3 人组，组不命名，多少种？
两组大小不同，选出 2 人组就唯一确定分组，得 $C_5^2=10$。
将 8 个相同球放入 3 个不同盒子，每盒至少一个，多少种？
正整数解数为 $C_7^2=21$。
将 8 个相同球放入 3 个不同盒子，允许空盒，多少种？
非负整数解数为 $C_{10}^2=45$。
求正整数解 $(x,y,z)$ 的个数：$x+y+z=12$，且 $x\ge2$。
令 $u=x-1\ge1$，则 $u+y+z=11$，正整数解数为 $C_{10}^2=45$。
从 6 人中选班长、团支书两职，甲乙不能同时入选，多少种？
总有序选法 $A_6^2$；甲乙同时入选有两种职务安排，故为 $30-2=28$。
5 人中选 3 人担任三个不同职务，甲必须入选，多少种？
先选甲担任哪一职有 3 种，其余两职从另 4 人有序选 $A_4^2$，共 $36$。
6 人中选 3 人，甲乙至少一人入选，多少种？
总数 $C_6^3$，反面是甲乙均不入选，从另 4 人选 3，为 $C_4^3$，故 $16$。
掷两枚均匀骰子，点数和为 8 的概率是多少？
有序样本点 $36$ 个，和为 8 的有 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ 五个，故为 $5/36$。
从 1 到 8 中不放回抽 2 个数，乘积为偶数的概率。
用反面：两数都奇数。总无序抽法 $C_8^2$，全奇有 $C_4^2$，故概率 $1-\frac{C_4^2}{C_8^2}=\frac{11}{14}$。
从含 3 个红球、2 个蓝球的盒中任取 2 球，恰有 1 红 1 蓝的概率。
无序样本点等可能，总数 $C_5^2$，有利数 $C_3^1C_2^1$，故概率 $3/5$。
一次可走 1 或 2 级，到第 6 级有多少种走法？
取 $a_0=a_1=1$，递推 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，得 $a_6=13$。
一次可走 1、2 或 3 级，到第 4 级有多少种走法？
令 $a_0=1$，则 $a_1=1,a_2=2,a_3=4$，且 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$，故 $a_4=7$。
用 $1\times1$ 小正方形与 $1\times2$ 骨牌铺满 $1\times5$ 长条，有多少种？
最后一块是正方形则前面有 $a_4$ 种，是横放骨牌则前面有 $a_3$ 种，故 $a_5=a_4+a_3=8$。
4 人各交一张照片，随机发回，恰有 1 人拿到自己照片的发法有多少种？
选这 1 人有 $C_4^1$，其余 3 人必须错排有 $D_3=2$，故 $8$。
4 封不同信放入 4 个不同信封，甲的信不能装入甲信封，多少种？
总数 $4!$，不合格的是甲装对的 $3!$，故 $18$。
3 人互送不同礼物，每人只能送给另两人之一，且不能自己收到自己的礼物，有多少种收礼安排？
这是 3 个元素的错排，数为 $D_3=2$。
用 4 色给一条 5 顶点链染色，相邻异色，多少种？
首点 4 种，之后每点避开前一点有 3 种，故 $4\cdot3^4$。
用 3 色给三角形三个顶点染色，任意相邻异色，多少种？
依次为 $3,2,1$ 种，故 $3!=6$。
用 3 色给正方形四顶点染色，要求相邻异色，多少种？
固定前两点后，第三点若与第一点同色，第四有 2 色；若不同，第四有 1 色。因此 $3\cdot2\cdot(2+1)=18$。
由 $1,2,3,4,5$ 不重复组成四位数，能被 5 整除的有多少个？
个位必须是 5，前三位从余 4 数有 $A_4^3=24$ 种。
由 $0,1,2,3,4$ 不重复组成三位偶数，多少个？
个位为 0：$4\cdot3=12$。个位为 2 或 4：个位 2 种、百位 3 种、十位 3 种，共 $18$。合计 $30$。
由 $0,1,2,3,4,5$ 不重复组成四位数，个位为偶数，千位为奇数，多少个？
个位有 $0,2,4$ 三种，千位有 $1,3,5$ 三种，二者互不冲突；中间两位从余 4 数有 $A_4^2$ 种，故 $3\cdot3\cdot A_4^2=108$。
5 人围圆桌而坐，共多少种？
旋转视为同一，固定一人，余 4 人排成圆，得 $(5-1)!=24$。
6 人围圆桌而坐，$A,B$ 不相邻，多少种？
总圆排为 $5!$。$A,B$ 相邻时捆成一体，共 5 个单位圆排，团内 2 种，得 $2\cdot4!$。所求 $5!-2\cdot4!=72$。
8 人排成一列，要求 $A$ 在 $B$ 前、$B$ 在 $C$ 前，多少种？
三人相对次序共 $3!$ 种且等量，满足指定次序的为总排列的 $1/3!$，故 $8!/3!$。
从 6 名男生、5 名女生中选 4 人，至少选 2 名女生，多少种？
按女生人数分类：$C_5^2C_6^2+C_5^3C_6^1+C_5^4=215$。也可用总数减女生为 0 或 1 的情形。
用数字 $0,1,2,3,4$ 可重复组成四位数，至少含一个 0，多少个？
总四位数 $4\cdot5^3$；不含 0 时各位只能取 $1$ 至 $4$，有 $4^4$。故为 $4\cdot5^3-4^4=244$。
8 人中选 4 人组成小组，甲、乙不同时入选，且丙必须入选，多少种？
先固定丙，再从余 7 人中选 3 人；减去甲乙同入选时还需从其余 5 人选 1 人的情形，得 $C_7^3-C_5^1=30$。
任选本页一题，按以下四句完整讲解：我数的对象是什么；为什么按此分类或分步；每步的数量来自哪个有序/无序判断；为何没有重数或遗漏。只报出组合数、排列数而说不清这四句，不能算掌握。