二项式定理：通项、系数和与赋值法

定理

(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}C_n^r a^{n-r}b^r.

其中第 $r+1$ 项为

T_{r+1}=C_n^r a^{n-r}b^r.

注意：通项中的 $r$ 从 $0$ 开始，第 $r+1$ 项才对应 $C_n^r$。

求指定项时，先写通项，再根据指数条件解 $r$。

例如求 $(x+\frac{1}{x})^8$ 的常数项：

T_{r+1}=C_8^r x^{8-r}\left(\frac1x\right)^r=C_8^r x^{8-2r}.

常数项要求指数为 0，所以 $8-2r=0$，得 $r=4$。常数项为 $C_8^4=70$。

多项式

f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n

所有系数和为

$$ f(1). $$

偶次项系数和与奇次项系数和可由 $f(1)$ 和 $f(-1)$ 联立得到：

E+O=f(1),\quad E-O=f(-1).

二项式系数是 $C_n^r$。项的系数还要把 $a^{n-r}b^r$ 中的常数因子算进去。

比如 $(2x-1)^5$ 中 $x^3$ 项的系数不是 $C_5^2$，而是

$$ C_5^2(2x)^3(-1)^2=80x^3. $$

求 $(1-2x)^6$ 中 $x^3$ 项的系数。

查看解答

通项为

T_{r+1}=C_6^r 1^{6-r}(-2x)^r=C_6^r(-2)^r x^r.

要求 $x^3$ 项，令 $r=3$。系数为

C_6^3(-2)^3=20\cdot(-8)=-160.

让学生说清：

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计数的第一原则是先描述对象。没有对象，就没有“多少种”。很多排列组合错误不是公式错，而是学生没有说清楚自己正在数什么。

排列组合的分界线只有一句话：如果交换位置后算不同结果，就是排列；如果只关心选了哪些对象，不关心顺序，就是组合。

模型不是口诀，而是限制条件的处理顺序。限制越强，越应该优先处理。

排列组合之后很自然会进入概率。古典概型的核心公式很简单：

这页不是为了刷题量，而是为了训练学生把计数过程讲清楚。每道题讲解时都要回答四件事：数的对象是什么，分类还是分步，有序还是无序，为什么不重不漏。

这一页把本地一轮复习资料中考点 33 到考点 35 的练习题按原考点整理出来。题干中的公式、图形和原 Word 图片会一起呈现；解析版内容折叠在“查看解析版原文”里，适合课后抽题、限时训练和查漏补缺。

本页按本地《排列组合满分冲刺》的 13 组模型重建。模型不是见词套法：先定义要数的对象，再说明构造过程与对象之间为何一一对应，最后才写数。

每组三题按“识别—变式—表达”安排。先只看题目，写下你数的对象和分类/分步依据；再展开解析检查。