常见模型：特殊优先、捆绑、插空、分组分配

特殊元素优先

若某个人、某个数字、某个位置有特殊要求，先安排它。比如三位偶数要先看个位，因为偶数由个位决定。

相邻问题：捆绑法

要求若干元素相邻，可以先把它们看成一个整体。整体与其他元素排列后，再处理整体内部顺序。

例：$A,B$ 必须相邻，与另外 4 人排成一排。

先把 $A,B$ 作为一个整体，加上 4 人共 5 个单位；内部 $A,B$ 有 2 种顺序。

不相邻问题：插空法

要求若干元素不相邻，通常先排其他元素，形成空位，再把被限制元素插入空位。

例：$A,B$ 不相邻，与另外 4 人排成一排。

先排另外 4 人，有 $4!$ 种，形成 5 个空位。把 $A,B$ 插入 5 个空位中的 2 个，并排列：

至少问题：正难则反

“至少一个”“至少两个”常常反着数。

反面必须比正面更简单，否则没有必要反算。

定序问题：除法或固定相对顺序

若 $A,B,C$ 三人相对顺序固定，在所有排列中，每种相对顺序出现次数相同，所以除以 $3!$。

例如 8 人排队，要求 $A,B,C$ 的相对顺序为 $A$ 在 $B$ 前，$B$ 在 $C$ 前：

分组与分配

分组强调“组本身是否有标签”。

1. 分给甲乙丙三人：组有标签。
2. 分成三组但不命名：组无标签。
3. 每组人数相同且组无标签时，容易多除一个组间排列。

隔板法

把 $n$ 个相同物品分给 $k$ 个不同对象，每个对象至少 1 个：

如果允许 0 个，先令 $y_i=x_i+1$ 或直接使用

讲题时的模型句

1. “这个限制决定了我先处理谁。”
2. “相邻，所以我把它们捆成一个单位。”
3. “不相邻，所以我先排不受限制的对象，再插空。”
4. “至少问题正面分类太多，所以我数反面。”
5. “组有没有名字决定是否要除以组间排列。”