这页不是为了刷题量，而是为了训练学生把计数过程讲清楚。每道题讲解时都要回答四件事：数的对象是什么，分类还是分步，有序还是无序，为什么不重不漏。
从 4 本小说和 5 本科普书中选 1 本阅读，有多少种选法？
选 1 本书可以分成两类：选小说或选科普书。两类互斥，所以用加法原理：
某密码由 2 个大写字母和 1 个数字组成，字母从 A、B、C、D 中选，数字从 0 到 9 中选，允许重复，有多少个密码？
密码由三个位置共同确定，所以分三步。第一个字母 $4$ 种，第二个字母 $4$ 种，数字 $10$ 种：
用数字 $1,2,3,4,5,6$ 组成无重复数字的两位奇数，有多少个？
个位决定奇偶，所以先选个位。个位可为 $1,3,5$，有 $3$ 种；十位不能与个位重复，有 $5$ 种：
用数字 $0,1,2,3,4,5$ 组成无重复数字的四位数，有多少个？
千位不能为 $0$，有 $5$ 种；百位还剩 $5$ 种；十位 $4$ 种；个位 $3$ 种：
从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 4 条路；另有从甲地直接到丙地的 2 条路。从甲地到丙地共有多少种走法？
分成两类：经过乙地，或不经过乙地。经过乙地时分两步，有 $3\cdot4=12$ 种；直接走有 $2$ 种。总数：
从 9 人中选 4 人组成小组，有多少种选法？
只关心选出哪些人，不关心顺序，所以是组合：
从 9 人中选 4 人分别担任组长、副组长、记录员、汇报员，有多少种安排？
四个职位不同，所以有顺序，是排列：
7 名学生站成一排，有多少种站法？
7 个不同对象排成一列：
平面上有 8 个点，任意三点不共线，可以构成多少个三角形？
一个三角形由 3 个点确定，点的顺序不重要，所以：
6 人围坐一张圆桌，旋转后视为同一种坐法，有多少种？
圆排列固定一个人作为参照，其余 5 人排成一列：
用数字 $0,1,2,3,4,5$ 组成无重复数字的三位偶数，有多少个？
先处理个位。
若个位为 $0$，百位有 $5$ 种，十位有 $4$ 种，共 $20$ 个。
若个位为 $2$ 或 $4$，有 $2$ 种；百位不能为 $0$ 且不能等于个位，有 $4$ 种；十位有 $4$ 种，共 $2\cdot4\cdot4=32$ 个。
总数：
5 人排队，甲不站在第一位，有多少种排法？
用总数减反面。总排法 $5!$；甲站第一时其余 4 人任排，有 $4!$ 种：
6 人排队，甲、乙都不站在两端，有多少种排法？
先安排两端，两端只能从另外 4 人中选并排列，有 $A_4^2$ 种。剩下 4 人排中间，有 $4!$ 种：
从 6 个不同字母中取 3 个排成密码，不允许重复，且第一个字母不能是 A，有多少种？
总排列数为 $A_6^3$。第一个字母为 A 时，后两位从其余 5 个中排列，有 $A_5^2$ 种。故：
用数字 $1,2,3,4,5,6,7$ 组成无重复数字的四位数，且大于 5000，有多少个？
千位必须为 $5,6,7$，有 $3$ 种。其余三位从剩下 6 个数字中排列：
6 人排成一排，甲、乙必须相邻，有多少种？
把甲乙捆成一个整体，与其余 4 人共 5 个单位排列，内部甲乙有 $2!$ 种：
6 人排成一排，甲、乙不相邻，有多少种？
总排法 $6!$。甲乙相邻按捆绑法有 $5!\cdot2!$ 种。所以：
5 名男生和 3 名女生排成一排，要求任意两名女生不相邻，有多少种？
先排 5 名男生，有 $5!$ 种，形成 6 个空位。从 6 个空位中选 3 个放女生并排列，有 $A_6^3$ 种：
7 人排队，甲、乙、丙三人必须站在一起，有多少种？
把甲乙丙捆成一个整体，与其余 4 人共 5 个单位排列，整体内部 $3!$ 种：
6 人排成一排，甲、乙之间恰好隔 1 人，有多少种？
甲乙所在位置必须形如 $(1,3),(2,4),(3,5),(4,6)$，共有 4 组。甲乙顺序有 2 种；中间那个人从另外 4 人中选；剩下 3 人任排：
10 个相同球分给 3 个不同盒子，每个盒子至少 1 个，有多少种分法？
设三个盒子分别得到 $x_1,x_2,x_3$ 个，且 $x_i\ge1$，$x_1+x_2+x_3=10$。隔板法：
10 个相同球分给 3 个不同盒子，允许某盒为空，有多少种分法？
非负整数解 $x_1+x_2+x_3=10$ 的个数为
8 本不同书分给甲、乙、丙三人，每本书必须分出，允许有人没有书，有多少种分法？
每本书独立选择给甲、乙、丙中的一人，共
种。
8 本不同书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
用容斥。总数 $3^8$。某一人没有书时，每本书只能给另外 2 人，有 $2^8$ 种，共 $3\cdot2^8$。两人没有书时，所有书给同一人，有 $1$ 种，共 $3$ 种。故：
6 个不同学生分成 3 个无标签小组，每组 2 人，有多少种？
先依次选组：
但三个小组没有标签，组间顺序被重复计算了 $3!$ 次，所以：
6 名男生、4 名女生中选 4 人，至少有 1 名女生，有多少种？
反面是全为男生：
1 到 100 中，能被 2 或 5 整除的数有多少个？
能被 2 整除有 $50$ 个，能被 5 整除有 $20$ 个，同时被 2 和 5 整除即被 10 整除有 $10$ 个。所以：
5 人排队，甲必须在乙前面，有多少种？
在所有 $5!$ 种排法中，甲在乙前和乙在甲前对称，各占一半：
含 6 个元素的集合有多少个非空子集？
每个元素都有选或不选两种状态，共 $2^6$ 个子集。去掉空集：
7 个相同球分给 3 个不同盒子，允许为空，但每盒不超过 3 个，有多少种分法？
先数非负整数解 $x_1+x_2+x_3=7$，共 $C_9^2=36$。
不合法情况是某个盒子至少 4 个。令 $y_i=x_i-4\ge0$，则剩余和为 $3$，对固定盒子有 $C_5^2=10$ 种。三个盒子共 $30$ 种。两个盒子同时至少 4 个不可能，因为总数只有 7。
所以合法数为
求 $(1+x)^8$ 中 $x^2$ 项的系数。
通项为 $C_8^r x^r$。令 $r=2$，系数为
求 $(2x-1)^5$ 中 $x^3$ 项的系数。
通项为
令 $5-r=3$，得 $r=2$。系数为
求 $\left(x+\frac1x\right)^{10}$ 的常数项。
通项为
令 $10-2r=0$，得 $r=5$，常数项为
求 $(1-2x)^6$ 中 $x^4$ 项的系数。
通项为 $C_6^r(-2x)^r$。令 $r=4$，系数为
求 $(2x-3)^5$ 展开式所有项系数之和。
所有系数和等于把 $x=1$ 代入：
求 $(1+x)^6$ 中偶次项系数和与奇次项系数和。
设偶次项系数和为 $E$，奇次项系数和为 $O$。
所以
求 $\left(x^2-\frac1x\right)^9$ 的常数项。
通项为
令 $18-3r=0$，得 $r=6$。常数项为
求 $(x+2)^7$ 中 $x^5$ 项的系数。
通项为
令 $7-r=5$，得 $r=2$。系数为
求 $(1+x)^5(1-x)^5$ 中 $x^3$ 项的系数。
先合并：
展开式只含偶次幂，所以 $x^3$ 项系数为 $0$。
$(a+b)^9$ 展开式中最大的二项式系数是多少？
当 $n=9$ 时，中间两项二项式系数最大：
从 5 名男生、3 名女生中任选 2 人，恰好 1 名女生的概率是多少？
总选法为 $C_8^2$。恰好 1 女 1 男，有 $C_3^1C_5^1$ 种。所以概率为
同时掷两枚均匀骰子，点数和为 7 的概率是多少？
样本点按有序数对计算，共 $6\cdot6=36$ 个。和为 7 的有
共 6 个，概率为
袋中有 4 个红球、6 个蓝球，不放回取 2 个，求取出的两球同色的概率。
总取法为 $C_{10}^2$。同色分为两类：两个红球或两个蓝球：
5 张不同卡片随机排成一列，A 卡在 B 卡前面的概率是多少？
在所有排列中，A 在 B 前与 B 在 A 前一一对应，数量相同，所以概率为
从 $0,1,\ldots,9$ 中组成无重复数字的四位数，随机取一个，求它是偶数的概率。
总数：千位 $9$ 种，其余三位依次 $9,8,7$ 种，所以总数为
偶数分两类。
个位为 $0$：千位 $9$ 种，百位 $8$ 种，十位 $7$ 种，共 $504$ 个。
个位为 $2,4,6,8$：个位 $4$ 种，千位从 $1$ 到 $9$ 中除去个位，有 $8$ 种，百位 $8$ 种，十位 $7$ 种，共 $1792$ 个。
偶数总数为 $2296$，概率为
有人说：“6 人排队，甲乙不相邻，只要把所有排法除以 2 就行。”这个说法为什么错？
“除以 2”只适用于甲乙相对顺序对称这类等分情况。甲乙相邻与不相邻不是对称等量事件。
正确做法是总数减相邻：
讲题时要说清楚：反面是甲乙相邻，相邻要捆绑。
从 8 人中选 3 人并排成一排，为什么是 $C_8^3\cdot3!$，而不是 $C_8^3$？
$C_8^3$ 只决定哪 3 人被选中，没有决定站的顺序。题目要求“排成一排”，所以选出的 3 人内部还要排列，有 $3!$ 种。
因此总数为
用数字 $1,2,3,4,5,6$ 组成无重复三位偶数。讲题时为什么建议先选个位？
偶数的限制完全由个位决定，所以个位是特殊位置，应优先处理。
个位可为 $2,4,6$，有 $3$ 种；百位剩 $5$ 种；十位剩 $4$ 种：
6 人平均分成两个无标签小组，每组 3 人，为什么是 $\frac{C_6^3}{2}$？
先选出其中一组，有 $C_6^3$ 种，剩下 3 人自动成为另一组。但两个小组没有名字，选出 A 组和选出它的补集会表示同一种分组，所以每种分组被数了 2 次。
因此结果为
7 人排成一排，要求甲乙相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？
先处理甲乙相邻，把甲乙捆成一个整体，内部有 $2!$ 种顺序。
此时需要排列的单位是：甲乙整体、丙、丁、另外 3 人，共 6 个单位。要求丙丁不相邻，先用总数减丙丁相邻：
再乘甲乙整体内部顺序：