两个计数原理：加法与乘法

加法原理

如果完成一件事可以分成若干类，并且每一种完成方式只属于其中一类，那么总数等于各类数量相加：

关键词是“分类”。分类必须互斥，不能重叠。比如从广州到北京，可以坐飞机或高铁，如果一趟行程不能同时算作飞机和高铁，那么可以相加。

乘法原理

如果完成一件事要连续做若干步，每一步都有若干选择，并且前后步骤共同确定一个完整对象，那么总数等于各步数量相乘：

关键词是“分步”。每一步都必须完成，缺一步就不是完整对象。

加法和乘法的根本区别

加法回答：“这件事有几种互斥路线？”

乘法回答：“这件事要经过几个连续部件？”

比如要组成一个三位数：

1. 先选百位。
2. 再选十位。
3. 再选个位。

这是分步，所以乘。若题目问“组成三位偶数或三位奇数”，这是分类，所以加。

最小例子

用数字 $1,2,3,4$ 组成无重复数字的两位数，有多少个？

容易错的地方

1. 分类重叠：同一种情况被两个类别同时包含。
2. 分步不完整：只数了前两步，忘了最后一步。
3. 顺序改变：本来是组合对象，却按排列数了。
4. 限制条件后处理太晚：导致先数了很多非法对象再忘记扣。

费曼讲题任务

让学生不要直接说公式，而要说：

1. “我现在是在分类还是分步？”
2. “每一类是否互斥？”
3. “每一步是否都必须完成？”
4. “这个乘法结果是否唯一对应一个对象？”