排列与组合：有序、无序和先选后排

排列

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，按一定顺序排成一列，叫排列。排列数为

排列的本质是连续占位：第一个位置有 $n$ 种，第二个位置有 $n-1$ 种，直到第 $m$ 个位置。

组合

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，只看取出的集合，不看顺序，叫组合。组合数为

组合可以理解为“先按顺序取，再除去内部 $m!$ 种排列重复”。

先选后排

很多题不是纯排列或纯组合，而是两步：

1. 先选对象：用组合。
2. 再安排位置：用排列。

例如从 8 人中选 3 人站成一排：

两种写法等价，但“先选后排”更容易解释过程。

组合数性质

这表示“选出 $m$ 个”和“留下 $n-m$ 个”是一回事。

这表示从 $n+1$ 个元素中选 $m$ 个时，按某个特殊元素是否被选中分类。

最小例子

班里 10 人中选 3 人参加活动，有多少种选法？

表达检查

学生讲题时必须明确：

1. 位置是否不同。
2. 被选对象内部是否有顺序。
3. 先选后排是否比直接套公式更清楚。
4. 有没有把同一个选择重复计算。