本页按本地《排列组合满分冲刺》的 13 组模型重建。模型不是见词套法：先定义要数的对象，再说明构造过程与对象之间为何一一对应，最后才写数。
长度为 $n$ 的字符串，每一位从 $m$ 个允许符号中选且允许重复，结果是 $m^n$。这是乘法原理，不是排列公式；若第一位不能取 $0$，必须把第一步单列。
用数字 $0,1,2,3,4$ 组成六位密码，允许重复，首位不能为 $0$，共有多少种？
首位有 $4$ 种，后五位各有 $5$ 种，故总数为 $4\cdot5^5$。
要求若干对象必须相邻，把它们暂时看作一个整体；整体之间排列后，再安排整体内部。若是“恰相邻”或多个团块重叠，需要用分类或容斥检查，不能只捆一次。
6 人排队，$A,B,C$ 必须相邻，共多少种？
把 $A,B,C$ 捆为一体，连同其余 3 人共 4 个单位，有 $4!$ 种；团内有 $3!$ 种，故为 $4!3!$。
被限制对象彼此不相邻时，先排其余对象。若骨架有 $r$ 个对象，产生 $r+1$ 个空位；每个空位至多放一个被限制对象，因而需要从空位选位置再排列。
7 人排队，$A,B,C$ 两两不相邻，共多少种？
先排其余 4 人，有 $4!$ 种，形成 5 个空位。选 3 个空位并安排 $A,B,C$，有 $A_5^3$ 种，故为 $4!A_5^3$。
把不同物品分给甲、乙、丙等不同对象，本质是每个物品选择一个有标签容器。若还限制每盒个数，按人数类型分类或“先选后分”。把“分给 3 人”和“分成 3 组”混为一谈会造成倍数错误。
将 5 本不同书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，共多少种？
人数型只能是 $(3,1,1)$ 或 $(2,2,1)$。
$(3,1,1)$：选拿 3 本的人 $3$ 种，再选其书 $C_5^3$，余下两本分给另两人有 $2!$ 种，得 $3C_5^3\cdot2!$。
$(2,2,1)$：选拿 1 本的人 $3$ 种，选其书 $C_5^1$，余 4 本分给两位有标签的人各 2 本，得 $C_4^2$。合计 $3C_5^3\cdot2!+3C_5^1C_4^2=150$。
非负整数解 $x_1+\cdots+x_k=n$ 的个数为 $C_{n+k-1}^{k-1}$；正整数解先令 $y_i=x_i-1$，得 $C_{n-1}^{k-1}$。这是把 $n$ 个相同球排成一列，用 $k-1$ 块板切成 $k$ 段的一一对应。存在上界时通常用容斥或分类，不能照搬隔板公式。
将 10 个相同奖品分给 4 名学生，每人至少 1 个，共多少种？
设每人分别得 $x_i$ 个，则 $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ 且 $x_i\ge1$。正整数解数为 $C_9^3$。
一个对象可能同时具备多种身份时，直接“分别选”常会重复。先按互斥且穷尽的类别切分，例如“恰会一项/恰会两项/全会”，或固定某一个关键对象的去向后再分步。
5 名学生中选 3 名担任班长、学习委员、体育委员；甲不能担任班长但可以担任其余职务，共多少种？
总数为 $A_5^3$。不合法情形是甲任班长，余两职从 4 人中有序选，为 $A_4^2$。故合法数为 $A_5^3-A_4^2=48$。
古典概型的概率为 $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$，前提是样本点等可能。掷骰子的有序结果、抽球的不放回有序序列都可以取等可能；“随机选一个整数”若范围无限或分布未给，则不能擅自使用古典概型。
从 $1,2,3,4,5$ 中不放回依次抽 2 个数，求和为偶数的概率。
有序样本点数为 $A_5^2=20$。和为偶数需同奇偶：两个奇数有 $A_3^2=6$，两个偶数有 $A_2^2=2$，故概率为 $\frac{8}{20}=\frac25$。
每次可走 1 级或 2 级，走到第 $n$ 级的方案按最后一步分类：最后走 1 级来自第 $n-1$ 级，最后走 2 级来自第 $n-2$ 级，二者互斥，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。初值取决于“第 0 级算不算一种站法”，必须先声明。
一次可走 1 或 2 级台阶，走到第 5 级有多少种走法？
令 $a_0=1,a_1=1$。则 $a_2=2,a_3=3,a_4=5,a_5=8$，故有 8 种。递推来自最后一步分类，而不是观察数列后猜的。
“每个人不拿自己的物品”是错排模型。小规模可以按第一个人的去向分类；一般 $n$ 个对象的错排数为
公式来自容斥：从全排列中减去至少一个人拿到自己物品的排列。若只禁止部分配对，则直接容斥在相应禁配事件上进行。
3 封不同信随机装入 3 个不同信封，恰好无人拿到自己的信，概率是多少？
总排列 $3!=6$。错排只有两种：$(123)\mapsto(231)$ 或 $(312)$，故概率为 $\frac26=\frac13$。
给图顶点或区域染色时，先明确“相邻”是共边还是只要相接；再按图的生成顺序分步。对一条链，首点任染，之后每点避开前一个颜色；对环，最后还要与第一个比较，不能把链的答案照搬。
用 3 种颜色给正方形 4 个顶点染色，相邻顶点异色，共多少种？
先染 $A$ 有 3 种，$B$ 有 2 种，$C$ 有 2 种。若 $C=A$，$D$ 可选 2 种；若 $C\ne A$，$D$ 只能选剩下一种。对固定 $A,B$，$C$ 的两种选择分别给 $2+1=3$ 种，故总数 $3\cdot2\cdot3=18$。
数的整除性由特定数位或数位和决定时，先处理这些关键位置；分组构成数时，组内是否有序、首位是否为零、每组是否可为空都要写出。同余分类的类别必须互斥且覆盖全部余数。
由 $0,1,2,3,4,5$ 中不同数字组成四位偶数，能组成多少个？
个位为 $0$：千位有 5 种，百、十位有 $A_4^2$ 种，共 $5A_4^2$。
个位为 $2$ 或 $4$：个位有 2 种，千位从非零且未用数字中选 4 种，百、十位有 $A_4^2$ 种，共 $2\cdot4A_4^2$。合计 $13A_4^2=156$。
两排座位常先固定一排，另一排再安排，避免同一整体被重复编号；圆排列中旋转视为同一时固定一个人，得到 $(n-1)!$。若镜像也视为同一，才可能再除以 2，且需先排除对称不动的特殊情形。
6 人围圆桌而坐，$A,B$ 必须相邻，共多少种？
把 $A,B$ 看成一体，连同其余 4 人共 5 个单位围圆桌，有 $(5-1)!$ 种；团内交换有 2 种，故为 $2\cdot4!$。
“至少一个”常数补集，“不同时发生”常直接限制，“禁止若干事件”常容斥。反面法的关键不是写 $\text{总}-\text{反}$，而是确认反面事件恰好是所求事件的补集，并且总数与反面数采用同一个样本空间。
从 5 名男生、4 名女生中选 3 人，至少有 1 名女生，共多少种？
总选法为 $C_9^3$，反面“全为男生”为 $C_5^3$，故结果为 $C_9^3-C_5^3=74$。
本页对应《排列组合满分冲刺》的全部模型线索；下一页给每类至少三道独立训练，原资料的完整题目则保留在“满分冲刺本地原题”入口中。讲题时，学生必须先说出自己建立的一一对应，再报公式。