最值与范围

常见方法

判别式法：把存在性转化为

函数法：把目标表示成一个变量的函数，再求最值。

基本不等式法：当表达式形如正数和、积固定或平方和时使用。

参数法：用斜率、角参数或曲线参数表示点。

几何法：用距离、圆、投影、对称或切线理解最值。

范围题的基本流程

1. 设变量。
2. 写目标表达式。
3. 找变量约束。
4. 求目标范围。
5. 检查端点是否能取到。

直线与曲线最值

常见目标：

1. 点到直线距离的最值。
2. 弦长最大最小。
3. 三角形面积最值。
4. 斜率或斜率乘积范围。
5. 参数 $m,k,e$ 的范围。

很多最值题最终会变成一元二次函数、分式函数或判别式条件。

判别式视角

如果某个量 $t$ 存在对应的点或直线，可以把条件整理成关于某个变量的一元二次方程。为了有实数解，需要

这会给出 $t$ 的范围。

训练题

1. 点 $P$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上，求 $x+y$ 的范围。

1. 点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 上，求 $x$ 的范围。

1. 直线 $y=kx+1$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 有公共点，求 $k$ 的条件。

1. 若 $t>0$，求 $t+\frac1t$ 的最小值。

1. 为什么范围题要检查端点？

讲题追问

最值题不要只问“怎么算”，要先问“变量的范围是什么”。没有约束的最值是不存在的。