定点、定值、定直线

核心思想

定点：一族直线或曲线都经过同一个固定点。

定值：某个长度、面积、斜率乘积、比值或表达式恒定。

定直线：某个动点轨迹、交点轨迹或极线关系最终落在固定直线上。

做这类题不要靠猜。稳定方法是：设参数，写表达式，消去参数，观察不变量。

定点题

常见形式：

如果可以化为

则这族直线恒过定点 $(x_0,y_0)$。

另一种方式：把方程整理成

若对任意 $k$ 都成立，则必须

解出的点就是定点。

定值题

常见定值对象：

1. 斜率乘积。
2. 弦长与距离的组合。
3. 面积。
4. 比值。
5. 向量数量积。

做法是把目标表达成参数，再化简。若参数消失，就得到定值。

定直线题

定直线通常来自动点坐标满足一次关系：

如果动点坐标含参数 $t$，就要消去 $t$，看是否得到固定直线方程。

方法流程

1. 先确定变量：斜率 $k$、截距 $m$、点坐标，还是曲线参数？
2. 用联立和韦达表达交点关系。
3. 写出目标对象：直线方程、点坐标、长度、面积或斜率。
4. 化简并消参。
5. 检查是否对所有允许参数成立。

训练题

1. 直线族 $y-2=k(x+1)$ 恒过哪个定点？

1. 直线族 $(x-1)t+(y+2)=0$ 若对任意 $t$ 都过某点，求该点。

1. 若动点 $P(t,2t+1)$，求它所在的定直线。

1. 若 $k_1=\frac{t-1}{t+1}$，$k_2=\frac{t+1}{t-1}$，求 $k_1k_2$。

1. 为什么定值题不能只代一个特殊值验证？

讲题追问

三定题要让学生说清楚：变量是谁？不变量是谁？如果变量没有被明确命名，后面的消参就会变成瞎算。