方法选择
优先用几何法的情况：
- 目标是证明平行或垂直。
- 条件中有中点、平行四边形、正方形、等边三角形。
- 图形中可以自然作出辅助线。
- 题目要求“证明”，而不是只求数值。
优先用向量法的情况：
- 目标是求线面角、二面角、点面距。
- 图形中有三条互相垂直的线，坐标系容易建立。
- 几何法需要反复找复杂辅助线。
- 题目中长度条件明确，代数计算可控。
几何法和向量法可以混用。常见做法是先用几何法证明垂直关系，得到好的坐标轴，再用向量法计算角或距离。
综合题流程
- 读图：标出已知点、线、面和特殊条件。
- 定目标：证明关系，还是计算角、距离、体积、球半径？
- 分解目标：把面面关系转为线面关系，把线面关系转为线线关系。
- 选择方法：几何法优先处理结构，向量法优先处理计算。
- 写出依据：每一步都要对应定义、判定、性质或公式。
- 回看条件：检查中点、垂直、平行、长度是否都用到了。
讲题模板
学生讲题时可以按下面顺序：
- 这道题的图形模型是：
- 已知条件中最重要的是：
- 第一问属于哪类问题：
- 我选择的方法是：
- 关键辅助线或坐标系是：
- 主要定理或公式是：
- 最容易错的地方是：
常见题型地图
- 平行证明：找平行线，转线面，转面面。
- 垂直证明：找两条相交线，转线面，转面面。
- 体积计算：找底和高，必要时等体积换底。
- 几何法求角：平移、作垂、作截面。
- 向量法求角：方向向量、法向量、点积。
- 向量法求距：点到平面、设垂足、公垂线段。
- 外接球：找等距中心，必要时补成长方体或还原截面。
分层训练安排
基础层：只训练读图和定理识别。要求学生能说出“这一步用什么定理”。
方法层：每种题型至少做 5 道。要求学生能讲出为什么作这条辅助线或为什么这样建系。
综合层：一题多问。第一问证明关系，第二问求角或距离，第三问体积或球半径。
复盘层：学生重新讲错题。老师只追问“为什么”，不急着代替学生解题。
训练题
- 一道题第一问要求证明 $MN\parallel$ 平面 $ABC$，题中 $M,N$ 是两条棱的中点。你第一反应应找什么？
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应找中位线。中点通常产生线线平行，再用线面平行判定。
- 一道题要求证明 $PA\perp$ 平面 $ABC$，已知 $PA\perp AB$，$PA\perp AC$。还需要确认什么？
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需要确认 $AB,AC$ 在平面 $ABC$ 内且相交。这样才能用线面垂直判定。
- 一道题要求求直线 $PA$ 与平面 $ABC$ 所成角，已知 $P$ 到平面 $ABC$ 的垂足是 $O$。所求角在哪里？
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$PA$ 在平面 $ABC$ 内的射影是 $AO$，所以线面角是 $\angle PAO$。
- 一道题长度条件很多、垂直关系明确，要求二面角。几何法和向量法如何选择？
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若能容易作出垂直棱的截面，可用几何法；若作截面困难但坐标系容易建立，优先用向量法求两个平面的法向量。
- 一道外接球题中出现长方体或正方体的若干顶点。第一步应该想什么？
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先想能否补成长方体或正方体。若能，外接球半径往往是体对角线的一半。
教师点评方向
点评时不要只说“答案对不对”。更有价值的问题是：
- 她有没有先判断题型？
- 她有没有说明定理使用条件？
- 她有没有把空间角落到一个平面角里？
- 她有没有解释坐标系为什么这样建？
- 她有没有用完题目中的关键条件？