返回讲义：数列求和：从通项结构到求和方法。
题型 A：公式法
识别信号：常数、等差、等比、$k$、$k^2$ 等基本结构可以直接使用有限和公式。
A1
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(4k-3).
$$
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解答： $4k-3$ 关于 $k$ 为一次式，可直接拆开求和：
$$
S_n=4\sum_{k=1}^{n}k-3\sum_{k=1}^{n}1
=4\cdot\frac{n(n+1)}2-3n
=2n^2-n.
$$
检查 $n=1$：结果为 $1$，与原式首项 $4-3=1$ 一致。
A2
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(3k^2-2k+1).
$$
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解答： 分别使用 $\sum k^2$、$\sum k$ 和 $\sum1$：
$$
\begin{aligned}
S_n
&=3\frac{n(n+1)(2n+1)}6-2\frac{n(n+1)}2+n\\
&=\frac{n(2n^2+n+1)}2.
\end{aligned}
$$
取 $n=1$，右边为 $2$，原式首项也是 $3-2+1=2$。
A3
等差数列的首项为 $5$，公差为 $3$，求前 $n$ 项和。
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解答： 第 $n$ 项为
$$
a_n=5+3(n-1)=3n+2.
$$
因此
$$
S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2
=\frac{n(5+3n+2)}2
=\frac{n(3n+7)}2.
$$
检查 $n=1$ 得 $S_1=5$。
A4
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}.
$$
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解答： 这是首项为 $1$、公比为 $2$ 的等比数列。由于 $2\ne1$，
$$
S_n=\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1.
$$
检查 $n=1$ 得 $1$，与原式一致。
A5
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}3\left(\frac12\right)^{k-1}.
$$
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解答： 这是首项为 $3$、公比为 $\frac12$ 的等比数列：
$$
S_n=3\frac{1-(\frac12)^n}{1-\frac12}
=6\left(1-\frac1{2^n}\right).
$$
当 $n=1$ 时，右边为 $3$。
题型 B：分组求和与并项求和
识别信号：通项由几个基本结构相加，或相邻若干项合并后结构更简单。
B1
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1+3^k).
$$
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解答： 利用求和的线性性质分成奇数和与等比和：
$$
\begin{aligned}
S_n
&=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)+\sum_{k=1}^{n}3^k\\
&=n^2+\frac{3(3^n-1)}2.
\end{aligned}
$$
检查 $n=1$：右边为 $1+3=4$。
B2
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(k^2+2k+1).
$$
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解答： 可以看成 $(k+1)^2$，也可以按三种基本和拆开：
$$
\begin{aligned}
S_n
&=\sum k^2+2\sum k+\sum1\\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+n(n+1)+n\\
&=\frac{n(2n^2+9n+13)}6.
\end{aligned}
$$
当 $n=1$ 时，结果为 $4$，与 $(1+1)^2$ 一致。
B3
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(4^k-2^k).
$$
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解答： 两部分都是有限等比和：
$$
S_n=\frac{4(4^n-1)}3-2(2^n-1).
$$
这里分别使用了公比 $4$ 和 $2$，都不等于 1。取 $n=1$，结果为 $4-2=2$。
B4
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\left[3k+(-1)^{k-1}\right].
$$
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解答： 分成等差部分与交错部分：
$$
\sum_{k=1}^{n}3k=\frac{3n(n+1)}2.
$$
交错和 $1-1+1-1+\cdots$ 在 $n$ 为偶数时为 $0$，在 $n$ 为奇数时为 $1$，可统一写成
$$
\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}=\frac{1-(-1)^n}{2}.
$$
所以
$$
S_n=\frac{3n(n+1)}2+\frac{1-(-1)^n}{2}.
$$
B5
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\left[(2k-1)^2-(2k)^2\right].
$$
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解答： 先在每个方括号内并项：
$$
(2k-1)^2-(2k)^2
=(4k^2-4k+1)-4k^2
=1-4k.
$$
因此
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(1-4k)
=n-4\frac{n(n+1)}2
=-2n^2-n.
$$
检查 $n=1$：$1^2-2^2=-3$，公式也给出 $-3$。
题型 C：裂项相消
识别信号：分式、根式或差平方结构能写成 $u_k-u_{k+m}$。必须写出开头若干项和末尾若干项，确认边界。
C1
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}.
$$
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解答： 裂项为
$$
\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.
$$
所以
$$
S_n=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)
=1-\frac1{n+1}
=\frac n{n+1}.
$$
C2
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{(k+1)(k+3)}.
$$
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解答： 两个因子的差为 2：
$$
\frac1{(k+1)(k+3)}
=\frac12\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+3}\right).
$$
跨度为 2，因此保留前两项和后两项：
$$
S_n=\frac12\left(\frac12+\frac13-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right).
$$
若只保留首尾各一项，就会漏掉边界项。
C3
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{(2k-1)(2k+1)}.
$$
查看解答
解答：
$$
\frac1{(2k-1)(2k+1)}
=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right).
$$
逐项相加后中间奇数倒数相消：
$$
S_n=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)
=\frac n{2n+1}.
$$
C4
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}.
$$
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解答： 分母乘共轭式：
$$
\frac1{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}
=\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}.
$$
因此
$$
S_n=(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+\cdots+(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})
=\sqrt{n+2}-\sqrt2.
$$
C5
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}.
$$
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解答： 注意到
$$
(k+1)^2-k^2=2k+1,
$$
所以
$$
\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}
=\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}.
$$
于是
$$
S_n=1-\frac1{(n+1)^2}.
$$
检查 $n=1$：左边为 $\frac34$，右边也是 $\frac34$。
题型 D：错位相减
识别信号：一次式与指数式相乘。先区分原式是 $q^{k-1}$ 还是 $q^k$，再对齐相减或使用已推导公式。
D1
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}k2^{k-1}.
$$
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解答： 设
$$
S_n=1+2\cdot2+3\cdot2^2+\cdots+n2^{n-1}.
$$
乘以 2：
$$
2S_n=2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n2^n.
$$
用第二式减第一式：
$$
S_n=-1-(2+2^2+\cdots+2^{n-1})+n2^n.
$$
其中 $2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-2$，故
$$
S_n=1+(n-1)2^n.
$$
检查 $n=1$ 得 $1$。
D2
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}k3^{k-1}.
$$
查看解答
解答： 使用讲义中已推导的公式，取 $q=3$：
$$
\begin{aligned}
S_n
&=\frac{1-(n+1)3^n+n3^{n+1}}{(1-3)^2}\\
&=\frac{1+(2n-1)3^n}{4}.
\end{aligned}
$$
公式条件 $q\ne1$ 满足。$n=1$ 时右边为 $1$。
D3
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}.
$$
查看解答
解答： 这是 $\sum kq^k$，其中 $q=\frac12$。代入公式：
$$
S_n=\frac{q-(n+1)q^{n+1}+nq^{n+2}}{(1-q)^2}.
$$
化简得
$$
S_n=2-\frac{n+2}{2^n}.
$$
检查 $n=1$：右边为 $\frac12$，与原式一致。
D4
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)2^{k-1}.
$$
查看解答
解答： 把一次因子拆开：
$$
S_n=2\sum_{k=1}^{n}k2^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}.
$$
代入
$$
\sum k2^{k-1}=1+(n-1)2^n,
\qquad
\sum2^{k-1}=2^n-1,
$$
得到
$$
S_n=3+(2n-3)2^n.
$$
当 $n=1$ 时，右边为 $1$。
D5
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{3^k}.
$$
查看解答
解答： 分成
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{3^k}+\sum_{k=1}^{n}\frac1{3^k}.
$$
由错位相减公式和等比和，
$$
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{3^k}
=\frac34-\frac{2n+3}{4\cdot3^n},
$$
$$
\sum_{k=1}^{n}\frac1{3^k}
=\frac12\left(1-\frac1{3^n}\right).
$$
相加得
$$
S_n=\frac54-\frac{2n+5}{4\cdot3^n}.
$$
检查 $n=1$：结果为 $\frac23$，等于原式 $\frac{1+1}{3}$。
题型 E：倒序相加
识别信号：第 $k$ 项与第 $n+1-k$ 项配对后，和不再依赖 $k$。
E1
用倒序相加法求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(5k-2).
$$
查看解答
解答： 记 $a_k=5k-2$。倒数第 $k$ 项为
$$
a_{n+1-k}=5(n+1-k)-2.
$$
于是
$$
a_k+a_{n+1-k}=5n+1,
$$
与 $k$ 无关。共有 $n$ 组配对，因此
$$
2S_n=n(5n+1),
\qquad
S_n=\frac{n(5n+1)}2.
$$
E2
已知数列前 $n$ 项满足
$$
a_k+a_{n+1-k}=12
$$
对所有 $k=1,2,\ldots,n$ 成立，求 $S_n$。
查看解答
解答： 正序和倒序相加：
$$
2S_n=\sum_{k=1}^{n}(a_k+a_{n+1-k})
=\sum_{k=1}^{n}12
=12n.
$$
所以
$$
S_n=6n.
$$
即使 $n$ 为奇数，中间项与自己配对也满足 $2a_{(n+1)/2}=12$，不需另改公式。
E3
用倒序相加法求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n+1}.
$$
查看解答
解答： 第 $k$ 项与第 $n+1-k$ 项之和为
$$
\frac{k}{n+1}+\frac{n+1-k}{n+1}=1.
$$
因此
$$
2S_n=n,
\qquad
S_n=\frac n2.
$$
这与直接提出常数 $\frac1{n+1}$ 后使用 $\sum k$ 的结果一致。
E4
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{1+2^{n+1-2k}}.
$$
查看解答
解答： 记
$$
a_k=\frac1{1+2^{n+1-2k}}.
$$
则
$$
a_{n+1-k}=\frac1{1+2^{-(n+1-2k)}}.
$$
令 $x=2^{n+1-2k}>0$，则
$$
a_k+a_{n+1-k}=\frac1{1+x}+\frac1{1+x^{-1}}=1.
$$
所以
$$
S_n=\frac n2.
$$
这里 $x>0$ 保证分母不为 0。
E5
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin^2\frac{k\pi}{2n}.
$$
查看解答
解答： 第 $k$ 项与第 $n-k$ 项配对：
$$
\sin^2\frac{k\pi}{2n}
+\sin^2\frac{(n-k)\pi}{2n}
=\sin^2\theta+\cos^2\theta
=1,
$$
其中 $\theta=\frac{k\pi}{2n}$。一共有 $n-1$ 项，因此
$$
2S_n=n-1,
\qquad
S_n=\frac{n-1}{2}.
$$
题型 F：奇偶、周期与绝对值分段
识别信号：通项含 $(-1)^k$、固定周期，或绝对值内的表达式会随下标改变符号。
F1
求
$$
S_n=1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n.
$$
查看解答
解答： 若 $n=2m$，两项一组：
$$
S_{2m}=(1-2)+(3-4)+\cdots+[(2m-1)-2m]=-m=-\frac n2.
$$
若 $n=2m+1$，前 $2m$ 项和为 $-m$，再加末项 $2m+1$：
$$
S_{2m+1}=-m+(2m+1)=m+1=\frac{n+1}{2}.
$$
所以
$$
S_n=
\begin{cases}
-\dfrac n2,&n\text{ 为偶数},\\
\dfrac{n+1}{2},&n\text{ 为奇数}.
\end{cases}
$$
F2
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(2k-1).
$$
查看解答
解答： 数列为
$$
1-3+5-7+\cdots.
$$
若 $n=2m$，每组 $(4j-3)-(4j-1)=-2$，所以 $S_n=-2m=-n$。
若 $n=2m+1$，前 $2m$ 项和为 $-2m$，末项为 $4m+1$，所以
$$
S_n=-2m+4m+1=2m+1=n.
$$
可统一写成
$$
S_n=(-1)^{n-1}n.
$$
F3
数列以 $1,2,-3$ 为一个周期重复，求前 $n$ 项和。
查看解答
解答： 每个完整周期的和为
$$
1+2-3=0.
$$
写成 $n=3q+r$，其中 $r=0,1,2$。完整的 $q$ 个周期贡献为 0，只看余项：
$$
S_n=
\begin{cases}
0,&r=0,\\
1,&r=1,\\
3,&r=2.
\end{cases}
$$
这里 $q$、$r$ 分别表示完整周期数和余项数。
F4
求
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}|k-3|.
$$
查看解答
解答： $k-3$ 在 $k=3$ 处改变符号。
当 $1\le n\le3$ 时，所有项都满足 $k-3\le0$：
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}(3-k)
=3n-\frac{n(n+1)}2
=\frac{n(5-n)}2.
$$
当 $n\ge3$ 时，前两项贡献 $2+1=3$，$k=3$ 的项为 0，后面令 $j=k-3$：
$$
S_n=3+\sum_{j=1}^{n-3}j
=3+\frac{(n-3)(n-2)}2.
$$
两段在 $n=3$ 时都给出 $3$，边界一致。
F5
数列以 $2,-1,3,-4$ 为一个周期重复，求前 $n$ 项和。
查看解答
解答： 一个完整周期的和为
$$
2-1+3-4=0.
$$
写成 $n=4q+r$，其中 $0\le r<4$。只需计算一个周期的前缀和：
$$
0,\quad 2,\quad 1,\quad 4.
$$
因此
$$
S_n=
\begin{cases}
0,&r=0,\\
2,&r=1,\\
1,&r=2,\\
4,&r=3.
\end{cases}
$$
综合讲题任务
从每一类中任选 1 题，共准备 6 题。课堂上随机抽 2 题讲，每题回答：
- 我为什么识别出这个方法？
- 关键变形保留了什么、消去了什么？
- 哪个边界项最容易漏？
- 我如何用 $n=1$ 或 $n=2$ 验算？
- 题目怎样改动后，原方法会失效？