$$
\frac{a_{n+1}-\alpha}{a_{n+1}-\beta}
=\lambda
\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}.
$$
它不是一个需要背下来的公式，而是一次分式递推的结构事实。理解它以后，学生可以自己从头推出，不必依赖“老师说令这个”的记忆。
本页研究什么对象
我们研究的对象是由递推关系定义的数列：
$$
a_{n+1}=f(a_n),
$$
其中
$$
f(x)=\frac{px+A}{Bx+C}.
$$
这叫一次分式变换。它首先有定义条件：
$$
Bx+C\ne0.
$$
所以对数列来说，每一步都必须保证
$$
Ba_n+C\ne0.
$$
如果某一步分母为 0，原递推式本身就没有意义，后面的讨论不能继续。
定义：不动点
若数 $\alpha$ 满足
$$
f(\alpha)=\alpha,
$$
则称 $\alpha$ 是变换 $f$ 的不动点。
这句话的含义是：如果某一项刚好等于 $\alpha$，那么下一项仍然等于 $\alpha$：
$$
a_n=\alpha
\quad\Longrightarrow\quad
a_{n+1}=f(a_n)=f(\alpha)=\alpha.
$$
所以不动点是递推变换自己给出的稳定位置。它不是技巧的名字，而是这个变换的内在结构。
核心命题
设
$$
f(x)=\frac{px+A}{Bx+C}.
$$
若 $\alpha,\beta$ 是两个不同的不动点，即
$$
f(\alpha)=\alpha,\qquad f(\beta)=\beta,\qquad \alpha\ne\beta,
$$
并且相关分母都有意义，则存在常数 $\lambda$，使得
$$
\frac{f(x)-\alpha}{f(x)-\beta}
=\lambda
\frac{x-\alpha}{x-\beta}.
$$
把 $x$ 换成 $a_n$，就得到
$$
\frac{a_{n+1}-\alpha}{a_{n+1}-\beta}
=\lambda
\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}.
$$
令
$$
b_n=\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta},
$$
则
$$
b_{n+1}=\lambda b_n.
$$
于是 $\{b_n\}$ 是等比数列。
为什么这个命题成立
下面完整推导，不跳步。
先从
$$
f(x)-\alpha
$$
开始。由 $f(x)=\frac{px+A}{Bx+C}$，
$$
f(x)-\alpha
=\frac{px+A}{Bx+C}-\alpha.
$$
通分：
$$
f(x)-\alpha
=\frac{px+A-\alpha(Bx+C)}{Bx+C}.
$$
展开分子：
$$
px+A-\alpha(Bx+C)
=(p-\alpha B)x+(A-\alpha C).
$$
现在要利用“不动点”这个条件。因为 $\alpha$ 是不动点，
$$
\alpha=\frac{p\alpha+A}{B\alpha+C}.
$$
在 $B\alpha+C\ne0$ 的条件下，两边同乘：
$$
\alpha(B\alpha+C)=p\alpha+A.
$$
展开：
$$
B\alpha^2+\alpha C=p\alpha+A.
$$
移项得到
$$
A-\alpha C=B\alpha^2-p\alpha.
$$
右边可以提取 $-\alpha$：
$$
B\alpha^2-p\alpha
=-\alpha(p-\alpha B).
$$
所以
$$
A-\alpha C=-\alpha(p-\alpha B).
$$
把它代回分子：
$$
(p-\alpha B)x+(A-\alpha C)
=(p-\alpha B)x-\alpha(p-\alpha B).
$$
提取公因式：
$$
(p-\alpha B)x-\alpha(p-\alpha B)
=(p-\alpha B)(x-\alpha).
$$
因此
$$
f(x)-\alpha
=\frac{(p-\alpha B)(x-\alpha)}{Bx+C}.
$$
同理，由 $\beta$ 是不动点可得
$$
f(x)-\beta
=\frac{(p-\beta B)(x-\beta)}{Bx+C}.
$$
两式相除：
$$
\frac{f(x)-\alpha}{f(x)-\beta}
=
\frac{\frac{(p-\alpha B)(x-\alpha)}{Bx+C}}
{\frac{(p-\beta B)(x-\beta)}{Bx+C}}.
$$
公共分母 $Bx+C$ 抵消：
$$
\frac{f(x)-\alpha}{f(x)-\beta}
=
\frac{p-\alpha B}{p-\beta B}
\cdot
\frac{x-\alpha}{x-\beta}.
$$
所以
$$
\lambda=\frac{p-\alpha B}{p-\beta B}.
$$
这就是两不动点距离比法的来源。
这个新变量到底在表示什么
新变量
$$
b_n=\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}
$$
不是为了凑公式。它表示的是：$a_n$ 到两个不动点 $\alpha,\beta$ 的有向距离之比。
一次分式变换的特点是：它不会简单地把每个距离都变成常数倍，但它会把“到两个不动点的距离之比”变成常数倍。
这就是为什么单看 $a_n-\alpha$ 往往不够，而要看
$$
\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}.
$$
手动推导流程
遇到
$$
a_{n+1}=\frac{pa_n+A}{Ba_n+C}
$$
时，按下面步骤手动推导。
第一步：写出变换和定义域
令
$$
f(x)=\frac{px+A}{Bx+C}.
$$
先记下
$$
Bx+C\ne0.
$$
对数列就是
$$
Ba_n+C\ne0.
$$
第二步：求不动点
解
$$
x=f(x).
$$
也就是
$$
x=\frac{px+A}{Bx+C}.
$$
在 $Bx+C\ne0$ 的条件下同乘：
$$
x(Bx+C)=px+A.
$$
整理成二次方程。若得到两个不同根 $\alpha,\beta$，就可以考虑距离比法。
第三步：先讨论特殊初值
如果
$$
a_1=\alpha,
$$
那么
$$
a_n=\alpha.
$$
如果
$$
a_1=\beta,
$$
那么
$$
a_n=\beta.
$$
这些常值情形要先处理，否则后面构造分式时可能出现分母为 0。
第四步：构造距离比
在 $a_n\ne\beta$ 的情形下，令
$$
b_n=\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}.
$$
由核心命题可得
$$
b_{n+1}=\lambda b_n.
$$
因此
$$
b_n=b_1\lambda^{n-1}.
$$
第五步：把 $b_n$ 解回 $a_n$
设
$$
b_n=t_n.
$$
则
$$
\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}=t_n.
$$
两边同乘：
$$
a_n-\alpha=t_n(a_n-\beta).
$$
展开：
$$
a_n-\alpha=t_na_n-t_n\beta.
$$
把含 $a_n$ 的项放在一边：
$$
a_n-t_na_n=\alpha-t_n\beta.
$$
提取 $a_n$：
$$
(1-t_n)a_n=\alpha-t_n\beta.
$$
所以
$$
a_n=\frac{\alpha-t_n\beta}{1-t_n}.
$$
最后检查初值和原递推分母。
完整例题
已知
$$
a_1=4,\qquad a_{n+1}=\frac{5a_n-4}{2a_n-1}.
$$
求 $a_n$。
1. 写出变换
$$
f(x)=\frac{5x-4}{2x-1}.
$$
定义条件是
$$
2x-1\ne0.
$$
2. 求不动点
解
$$
x=\frac{5x-4}{2x-1}.
$$
同乘：
$$
x(2x-1)=5x-4.
$$
展开：
$$
2x^2-x=5x-4.
$$
整理：
$$
2x^2-6x+4=0.
$$
两边除以 2：
$$
x^2-3x+2=0.
$$
因式分解：
$$
(x-1)(x-2)=0.
$$
所以两个不动点为
$$
1,\quad 2.
$$
这里 $a_1=4$，不是不动点，所以不是常值数列。
3. 构造距离比
取
$$
\alpha=2,\qquad \beta=1.
$$
令
$$
b_n=\frac{a_n-2}{a_n-1}.
$$
下面手动验证 $b_{n+1}$ 与 $b_n$ 的关系。
先算分子：
$$
a_{n+1}-2
=\frac{5a_n-4}{2a_n-1}-2.
$$
通分：
$$
a_{n+1}-2
=\frac{5a_n-4-2(2a_n-1)}{2a_n-1}.
$$
展开：
$$
a_{n+1}-2
=\frac{5a_n-4-4a_n+2}{2a_n-1}
=\frac{a_n-2}{2a_n-1}.
$$
再算分母：
$$
a_{n+1}-1
=\frac{5a_n-4}{2a_n-1}-1.
$$
通分：
$$
a_{n+1}-1
=\frac{5a_n-4-(2a_n-1)}{2a_n-1}.
$$
展开：
$$
a_{n+1}-1
=\frac{3a_n-3}{2a_n-1}
=\frac{3(a_n-1)}{2a_n-1}.
$$
所以
$$
b_{n+1}
=\frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}-1}
=
\frac{\frac{a_n-2}{2a_n-1}}
{\frac{3(a_n-1)}{2a_n-1}}.
$$
抵消公共分母：
$$
b_{n+1}
=\frac13\frac{a_n-2}{a_n-1}
=\frac13b_n.
$$
4. 求出 $b_n$
因为
$$
b_1=\frac{4-2}{4-1}=\frac23,
$$
所以
$$
b_n=\frac23\left(\frac13\right)^{n-1}
=\frac2{3^n}.
$$
5. 解回 $a_n$
由
$$
\frac{a_n-2}{a_n-1}=\frac2{3^n},
$$
两边同乘：
$$
3^n(a_n-2)=2(a_n-1).
$$
展开：
$$
3^na_n-2\cdot3^n=2a_n-2.
$$
移项：
$$
(3^n-2)a_n=2\cdot3^n-2.
$$
所以
$$
a_n=\frac{2\cdot3^n-2}{3^n-2}.
$$
6. 检查
当 $n=1$ 时，
$$
a_1=\frac{2\cdot3-2}{3-2}=4,
$$
符合初值。并且对这个结果，$2a_n-1$ 不为 0，原递推分母有意义。
和“平移后取倒数法”的关系
两不动点距离比法和平移后取倒数法不是两件互不相关的事。
设 $\alpha,\beta$ 是两个不动点。令
$$
B_n=a_n-\alpha.
$$
那么
$$
a_n-\beta=B_n+\alpha-\beta.
$$
距离比法写成
$$
\frac{B_{n+1}}{B_{n+1}+\alpha-\beta}
=\lambda
\frac{B_n}{B_n+\alpha-\beta}.
$$
设
$$
d=\alpha-\beta.
$$
则
$$
\frac{B_{n+1}}{B_{n+1}+d}
=\lambda
\frac{B_n}{B_n+d}.
$$
两边交叉相乘：
$$
B_{n+1}(B_n+d)=\lambda B_n(B_{n+1}+d).
$$
展开：
$$
B_nB_{n+1}+dB_{n+1}
=\lambda B_nB_{n+1}+\lambda dB_n.
$$
移项：
$$
(1-\lambda)B_nB_{n+1}+dB_{n+1}-\lambda dB_n=0.
$$
若 $B_nB_{n+1}\ne0$，两边除以 $B_nB_{n+1}$：
$$
(1-\lambda)+\frac d{B_n}-\frac{\lambda d}{B_{n+1}}=0.
$$
令
$$
C_n=\frac1{B_n},
$$
就得到
$$
C_{n+1}
=\frac1\lambda C_n+\frac{1-\lambda}{\lambda d}.
$$
这就是一次线性递推。也就是说，平移后取倒数法可以看成两不动点距离比法的另一种书写方式。
边界条件
使用本方法时必须检查：
- 原递推分母是否可能为 0。
- 求不动点时同乘的分母是否为 0。
- 两个不动点是否真的不同。
- 初值是否正好等于某个不动点。
- 构造 $\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}$ 时，是否出现 $a_n=\beta$。
- 解回 $a_n$ 后，是否满足初值和原递推。
学生讲题问题
学生讲这一页时，不要求背公式，要求能回答：
- 什么是不动点？
- 为什么递推题里要找不动点？
- 为什么看一个距离不够，而要看两个距离的比？
- 核心等式
$$
f(x)-\alpha
=\frac{(p-\alpha B)(x-\alpha)}{Bx+C}
$$
是怎么推出来的？
- 为什么 $\{b_n\}$ 会成为等比数列？
- 最后如何从 $b_n$ 解回 $a_n$？
- 哪些分母不能为 0？
如果这些问题能讲清楚，才说明她不是在照搬，而是在理解这个方法。