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数列求通项公式专项练习

这份练习按“题型识别”编排。每个题型至少 5 道题，建议学生先判断方法，再动笔计算；点开解答前，先尝试把“为什么用这个方法”讲出来。

使用建议：每次作业不必全布置，可以每类选 1 到 2 题；上课时让学生挑题讲解，你只点评方法选择、关键变形和易错点。

题型 A：等差、等比基础识别

1. 已知 $a_1=5,\ a_{n+1}-a_n=3$，求 $a_n$。

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解答： 相邻两项差为常数 $3$，所以是等差数列，公差 $d=3$。

因此

$$a_n=a_1+(n-1)d=5+3(n-1)=3n+2.$$

2. 已知 $a_1=4,\ a_{n+1}=3a_n$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 后一项是前一项的 $3$ 倍，所以是等比数列，公比 $q=3$。

因此

$$a_n=a_1q^{n-1}=4\cdot 3^{n-1}.$$

3. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_3=7,\ a_8=22$，求 $a_n$。

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解答： 设公差为 $d$，则

$$a_8-a_3=5d=22-7=15,$$

所以 $d=3$。又 $a_3=a_1+2d=7$，得 $a_1=1$。

因此

$$a_n=1+3(n-1)=3n-2.$$

4. 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2=6,\ a_5=162$，且公比为正，求 $a_n$。

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解答： 设公比为 $q$，由

$$\frac{a_5}{a_2}=q^3=\frac{162}{6}=27,$$

且 $q>0$，所以 $q=3$。于是 $a_1=\frac{a_2}{q}=2$。

因此

$$a_n=2\cdot 3^{n-1}.$$

5. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_4+a_{10}=34,\ a_6=14$，求 $a_n$。

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解答： 等差数列中下标和相等的两项和相等，$a_4+a_{10}=2a_7=34$，所以 $a_7=17$。

又 $a_7-a_6=d=3$，所以

$$a_n=a_6+(n-6)d=14+3(n-6)=3n-4.$$

题型 B：累加法

1. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}-a_n=2n$，求 $a_n$。

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解答： 对 $k=1,2,\ldots,n-1$ 累加：

$$a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}2k=(n-1)n.$$

因此

$$a_n=2+n(n-1)=n^2-n+2.$$

2. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}-a_n=3n-2$，求 $a_n$。

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解答： 累加得

$$a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}(3k-2)=\frac{3(n-1)n}{2}-2(n-1).$$

所以

$$a_n=1+\frac{3n(n-1)}2-2(n-1)=\frac{3n^2-7n+6}{2}.$$

3. 已知 $a_1=3,\ a_{n+1}-a_n=2^n$，求 $a_n$。

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解答： 累加得

$$a_n=3+\sum_{k=1}^{n-1}2^k=3+(2^n-2)=2^n+1.$$

4. 已知 $a_1=0,\ a_{n+1}-a_n=\frac1{n(n+1)}$，求 $a_n$。

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解答： 先裂项：

$$\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.$$

所以

$$a_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{k(k+1)} =\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right) =1-\frac1n=\frac{n-1}{n}.$$

5. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}-a_n=(-1)^n$，求 $a_n$。

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解答： 累加得

$$a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k.$$

当 $n$ 为奇数时，后面的和为 $0$；当 $n$ 为偶数时，后面的和为 $-1$。统一写成

$$a_n=\frac{1+(-1)^{n+1}}2.$$

题型 C：累乘法

1. 已知 $a_1=3,\ a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n$，求 $a_n$。

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解答： 两边连乘：

$$a_n=3\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}=3n.$$

2. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}a_n$，求 $a_n$。

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解答：

$$a_n=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+2}{k+1}=\frac{n+1}{2}.$$

3. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{2n}{n+1}a_n$，求 $a_n$。

查看解答

解答：

$$a_n=2\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2k}{k+1} =2\cdot\frac{2^{n-1}}{n} =\frac{2^n}{n}.$$

4. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{2n+1}{2n-1}a_n$，求 $a_n$。

查看解答

解答：

$$a_n=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2k+1}{2k-1}=2n-1.$$

中间项全部相消，只剩首尾。

5. 已知 $a_1=4,\ a_{n+1}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^2a_n$，求 $a_n$。

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解答：

$$a_n=4\prod_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k}{k+1}\right)^2 =4\cdot\frac1{n^2} =\frac4{n^2}.$$

题型 D：由 $S_n$ 求 $a_n$

1. 已知 $S_n=n^2+2n$，求 $a_n$。

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解答： 用 $a_n=S_n-S_{n-1}$。当 $n\ge2$ 时，

$$a_n=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1.$$

当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=3$，也符合 $2n+1$。

所以 $a_n=2n+1$。

2. 已知 $S_n=2^n-1$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 当 $n\ge2$ 时，

$$a_n=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}.$$

当 $n=1$ 时，$a_1=1$，也符合公式。

所以 $a_n=2^{n-1}$。

3. 已知 $S_n=n^2+n$，求 $a_n$。

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解答：

$$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n.$$

且 $a_1=S_1=2$，符合。

4. 已知 $S_n=3n^2-n$，求 $a_n$。

查看解答

解答：

$$a_n=(3n^2-n)-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4.$$

当 $n=1$ 时，$a_1=2$，也符合。

5. 已知 $S_n=n^3$，求 $a_n$。

查看解答

解答：

$$a_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1.$$

当 $n=1$ 时，$a_1=1$，符合。

题型 E：一次线性递推与待定系数法

1. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+3$，求 $a_n$。

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解答： 先找不动点：若 $x=2x+3$，则 $x=-3$。令 $b_n=a_n+3$，则

$$b_{n+1}=a_{n+1}+3=2a_n+6=2b_n.$$

又 $b_1=4$，所以 $b_n=4\cdot2^{n-1}$。

因此

$$a_n=b_n-3=2^{n+1}-3.$$

2. 已知 $a_1=0,\ a_{n+1}=3a_n+2$，求 $a_n$。

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解答： 不动点满足 $x=3x+2$，得 $x=-1$。令 $b_n=a_n+1$，则

$$b_{n+1}=3b_n.$$

又 $b_1=1$，所以

$$a_n=b_n-1=3^{n-1}-1.$$

3. 已知 $a_1=5,\ a_{n+1}=4a_n-6$，求 $a_n$。

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解答： 不动点满足 $x=4x-6$，得 $x=2$。令 $b_n=a_n-2$，则

$$b_{n+1}=4b_n.$$

又 $b_1=3$，所以

$$a_n=3\cdot4^{n-1}+2.$$

4. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=\frac12a_n+3$，求 $a_n$。

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解答： 不动点满足 $x=\frac12x+3$，得 $x=6$。令 $b_n=a_n-6$，则

$$b_{n+1}=\frac12 b_n.$$

又 $b_1=-4$，所以

$$a_n=6-4\left(\frac12\right)^{n-1}.$$

5. 已知 $a_1=4,\ a_{n+1}=5a_n+1$，求 $a_n$。

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解答： 不动点满足 $x=5x+1$，得 $x=-\frac14$。令 $b_n=a_n+\frac14$，则

$$b_{n+1}=5b_n.$$

又 $b_1=\frac{17}{4}$，所以

$$a_n=\frac{17}{4}\cdot5^{n-1}-\frac14.$$

题型 F：多项式扰动与指数扰动

1. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+2^n$，求 $a_n$。

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解答： 两边除以 $2^n$。令 $b_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$，则

$$b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{2^n}=\frac{a_n}{2^{n-1}}+1=b_n+1.$$

又 $b_1=1$，所以 $b_n=n$。

因此

$$a_n=n2^{n-1}.$$

2. 已知 $a_1=0,\ a_{n+1}=2a_n+3^n$，求 $a_n$。

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解答： 令 $b_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$，则

$$b_{n+1}=b_n+\left(\frac32\right)^n.$$

又 $b_1=0$，累加得

$$b_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac32\right)^k=3\left[\left(\frac32\right)^{n-1}-1\right].$$

因此

$$a_n=2^{n-1}b_n=3(3^{n-1}-2^{n-1}).$$

3. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2n+1$，求 $a_n$。

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解答： 直接累加：

$$a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) =1+(n-1)n+(n-1)=n^2.$$

4. 已知 $a_1=0,\ a_{n+1}=a_n+n^2$，求 $a_n$。

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解答：

$$a_n=\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}6.$$

5. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=3a_n-2\cdot3^n$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 令 $b_n=\frac{a_n}{3^{n-1}}$，则

$$b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{3^n}=\frac{a_n}{3^{n-1}}-2=b_n-2.$$

又 $b_1=2$，所以 $b_n=2-2(n-1)=4-2n$。

因此

$$a_n=(4-2n)3^{n-1}.$$

题型 G：二阶线性递推与特征方程

1. 已知 $a_1=1,\ a_2=3,\ a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n$，求 $a_n$。

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解答： 特征方程为

$$r^2=2r+3,\quad r^2-2r-3=0,$$

得 $r=3,-1$。通项设为

$$a_n=A3^{n-1}+B(-1)^{n-1}.$$

由 $a_1=1,\ a_2=3$ 得 $A=1,\ B=0$。

所以 $a_n=3^{n-1}$。

2. 已知 $a_1=2,\ a_2=5,\ a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$，求 $a_n$。

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解答： 特征方程

$$r^2-3r+2=0,$$

得 $r=1,2$。设

$$a_n=A2^{n-1}+B.$$

由 $A+B=2,\ 2A+B=5$，得 $A=3,\ B=-1$。

所以

$$a_n=3\cdot2^{n-1}-1.$$

3. 已知 $a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n$，求 $a_n$。

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解答： 特征方程

$$r^2-2r+1=0,$$

即 $(r-1)^2=0$。重根时设 $a_n=A+Bn$。

由 $a_1=1,\ a_2=2$ 得 $A=0,\ B=1$，所以

$$a_n=n.$$

4. 已知 $a_1=0,\ a_2=1,\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，求 $a_n$。

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解答： 这是斐波那契型递推。若记 $F_0=0,\ F_1=1,\ F_{m+1}=F_m+F_{m-1}$，则

$$a_1=F_0,\quad a_2=F_1.$$

所以

$$a_n=F_{n-1}.$$

5. 已知 $a_1=1,\ a_2=4,\ a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 特征方程

$$r^2-4r+4=0,$$

即 $(r-2)^2=0$。设

$$a_n=(A+B(n-1))2^{n-1}.$$

由 $a_1=1$ 得 $A=1$；由 $a_2=4$ 得 $2(1+B)=4$，所以 $B=1$。

因此

$$a_n=n2^{n-1}.$$

题型 H：分式型递推、倒数法与不动点思路

1. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}$，求 $a_n$。

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解答： 取倒数，令 $b_n=\frac1{a_n}$，则

$$b_{n+1}=\frac{a_n+1}{a_n}=b_n+1.$$

又 $b_1=1$，所以 $b_n=n$。

因此

$$a_n=\frac1n.$$

2. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$，求 $a_n$。

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解答： 令 $b_n=\frac1{a_n}$，则

$$b_{n+1}=\frac{2a_n+1}{a_n}=2+b_n.$$

又 $b_1=\frac12$，所以

$$b_n=\frac12+2(n-1)=\frac{4n-3}{2}.$$

因此

$$a_n=\frac2{4n-3}.$$

3. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 令 $b_n=\frac1{a_n}$，则

$$b_{n+1}=\frac{a_n+2}{2a_n}=\frac12+b_n.$$

又 $b_1=1$，所以

$$b_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.$$

因此

$$a_n=\frac2{n+1}.$$

4. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{3a_n}{a_n+3}$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 令 $b_n=\frac1{a_n}$，则

$$b_{n+1}=\frac{a_n+3}{3a_n}=\frac13+b_n.$$

又 $b_1=1$，所以

$$b_n=1+\frac{n-1}{3}=\frac{n+2}{3}.$$

因此

$$a_n=\frac3{n+2}.$$

5. 已知 $a_1=4,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+2}$，求 $a_n$。

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解答： 令 $b_n=\frac1{a_n}$，则

$$b_{n+1}=3+2b_n.$$

把常数项消掉：令 $c_n=b_n+3$，则

$$c_{n+1}=2c_n.$$

又 $b_1=\frac14$，所以 $c_1=\frac{13}{4}$。于是

$$b_n=\frac{13}{4}\cdot2^{n-1}-3=\frac{13\cdot2^{n-1}-12}{4}.$$

因此

$$a_n=\frac4{13\cdot2^{n-1}-12}.$$

题型 I：一次分式变换与两个不动点距离比

原理入口：两不动点距离比法：从定义到手动推导。先能手动推出核心命题，再做下面的题。

这一类处理的是一次分式变换

$$ a_{n+1}=\frac{pa_n+A}{Ba_n+C}. $$

本题型只练“两不动点距离比法”。核心对象是递推变换 $f(x)=\frac{px+A}{Bx+C}$；核心定义是不动点 $f(\alpha)=\alpha$；核心命题是：若 $\alpha,\beta$ 是两个不同不动点，则

$$ \frac{a_{n+1}-\alpha}{a_{n+1}-\beta} =\lambda\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}. $$

所以新变量

$$ b_n=\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta} $$

不是凭空构造，而是在记录 $a_n$ 到两个不动点的距离比。

1. 已知 $a_1=3,\ a_{n+1}=\frac{3a_n-2}{a_n}$，求 $a_n$。

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解答： 这个变换有两个不动点 $1,2$。令

$$b_n=\frac{a_n-2}{a_n-1}.$$

则

$$b_{n+1}=\frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}-1} =\frac12\frac{a_n-2}{a_n-1} =\frac12 b_n.$$

又 $b_1=\frac{3-2}{3-1}=\frac12$，所以 $b_n=2^{-n}$。

由 $\frac{a_n-2}{a_n-1}=2^{-n}$ 解得

$$a_n=\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}.$$

2. 已知 $a_1=4,\ a_{n+1}=\frac{5a_n-4}{2a_n-1}$，求 $a_n$。

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解答： 不动点为 $1,2$。令

$$b_n=\frac{a_n-2}{a_n-1}.$$

分别计算分子和分母：

$$ a_{n+1}-2 =\frac{5a_n-4}{2a_n-1}-2 =\frac{a_n-2}{2a_n-1}, $$
$$ a_{n+1}-1 =\frac{5a_n-4}{2a_n-1}-1 =\frac{3(a_n-1)}{2a_n-1}. $$

因此

$$ b_{n+1} =\frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}-1} =\frac13\frac{a_n-2}{a_n-1} =\frac13b_n. $$

又 $b_1=\frac{4-2}{4-1}=\frac23$，所以

$$b_n=\frac{2}{3^n}.$$

由 $\frac{a_n-2}{a_n-1}=\frac2{3^n}$ 解得

$$a_n=\frac{2\cdot3^n-2}{3^n-2}.$$

3. 已知 $a_1=4,\ a_{n+1}=\frac{4a_n}{a_n+2}$，求 $a_n$。

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解答： 不动点为 $0,2$。令

$$b_n=\frac{a_n-2}{a_n}.$$

则

$$b_{n+1}=\frac12b_n.$$

又 $b_1=\frac12$，所以 $b_n=2^{-n}$。

由 $\frac{a_n-2}{a_n}=2^{-n}$ 解得

$$a_n=\frac{2^{n+1}}{2^n-1}.$$

4. 已知 $a_1=3,\ a_{n+1}=\frac{3a_n+1}{a_n+3}$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 不动点为 $1,-1$。令

$$b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1}.$$

则

$$b_{n+1}=\frac12b_n.$$

又 $b_1=\frac12$，所以 $b_n=2^{-n}$。

由 $\frac{a_n-1}{a_n+1}=2^{-n}$ 解得

$$a_n=\frac{2^n+1}{2^n-1}.$$

5. 已知 $a_1=5,\ a_{n+1}=\frac{5a_n+2}{a_n+4}$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 不动点为 $2,-1$。令

$$b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}.$$

则

$$b_{n+1}=\frac12b_n.$$

又 $b_1=\frac{5-2}{5+1}=\frac12$，所以 $b_n=2^{-n}$。

由 $\frac{a_n-2}{a_n+1}=2^{-n}$ 解得

$$a_n=\frac{2^{n+1}+1}{2^n-1}.$$

题型 J：平移参数消常数项与取倒数法

这一题型对应你图里的方法。它的核心不是“记住令 $B_n=a_n+\alpha$”，而是先把递推写成方程

$$ F(a_n,a_{n+1})=0, $$

再令

$$ B_n=a_n+\alpha. $$

选择 $\alpha$ 的标准是：代入 $a_n=B_n-\alpha,\ a_{n+1}=B_{n+1}-\alpha$ 后，让常数项为 0。这样做等价于让 $-\alpha$ 成为原递推的不动点。若之后方程变成

$$ P B_nB_{n+1}+Q B_{n+1}+R B_n=0, $$

就可以除以 $B_nB_{n+1}$，令 $C_n=\frac1{B_n}$，转化为一次线性递推。

1. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{2a_n+1}{3a_n+4}$，用“平移参数消常数项”的方法求 $a_n$。

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解答： 先把递推式整理成方程：

$$ (3a_n+4)a_{n+1}-2a_n-1=0. $$

令

$$ B_n=a_n+\alpha,\qquad a_n=B_n-\alpha. $$

代入得

$$ [3(B_n-\alpha)+4](B_{n+1}-\alpha)-2(B_n-\alpha)-1=0. $$

展开并按 $B_nB_{n+1},B_{n+1},B_n,$ 常数项整理：

$$ 3B_nB_{n+1}+(4-3\alpha)B_{n+1}-(3\alpha+2)B_n +3\alpha^2-2\alpha-1=0. $$

为了让后面能通过取倒数化为一次线性递推，令常数项为 0：

$$ 3\alpha^2-2\alpha-1=0. $$

解得 $\alpha=1$ 或 $\alpha=-\frac13$。这里取 $\alpha=1$，即 $B_n=a_n+1$。

代回整理式：

$$ 3B_nB_{n+1}+B_{n+1}-5B_n=0. $$

由于 $B_1=a_1+1=3\ne0$，并且后面得到的 $C_n=\frac1{B_n}$ 有意义，所以可除以 $B_nB_{n+1}$：

$$ 3+\frac1{B_n}-\frac5{B_{n+1}}=0. $$

令 $C_n=\frac1{B_n}$，则

$$ C_{n+1}=\frac15C_n+\frac35. $$

这个一次线性递推的不动点满足

$$ C=\frac15C+\frac35, $$

所以 $C=\frac34$。令 $D_n=C_n-\frac34$，则

$$ D_{n+1}=\frac15D_n. $$

又

$$ C_1=\frac1{B_1}=\frac13,\qquad D_1=\frac13-\frac34=-\frac5{12}. $$

所以

$$ D_n=-\frac5{12}\left(\frac15\right)^{n-1}, $$
$$ C_n=\frac34-\frac5{12}\left(\frac15\right)^{n-1}. $$

最后

$$ a_n=B_n-1=\frac1{C_n}-1 =\frac{3\cdot5^{n-1}+5}{9\cdot5^{n-1}-5}. $$

代入 $n=1$ 得 $a_1=2$，初值正确。

2. 已知 $a_1=3,\ a_{n+1}=\frac{3a_n+1}{a_n+3}$，用平移后取倒数的方法求 $a_n$。

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解答： 先观察不动点。解

$$ x=\frac{3x+1}{x+3} $$

得

$$ x^2=1, $$

所以不动点为 $1$ 和 $-1$。为了使用平移取倒数法，选不动点 $-1$，令

$$ B_n=a_n+1. $$

则

$$ B_{n+1}=a_{n+1}+1 =\frac{3a_n+1}{a_n+3}+1 =\frac{4a_n+4}{a_n+3} =\frac{4(a_n+1)}{a_n+3}. $$

因为 $a_n=B_n-1$，所以 $a_n+3=B_n+2$，于是

$$ B_{n+1}=\frac{4B_n}{B_n+2}. $$

取倒数，令 $C_n=\frac1{B_n}$：

$$ C_{n+1}=\frac1{B_{n+1}} =\frac{B_n+2}{4B_n} =\frac14+\frac12C_n. $$

不动点满足

$$ C=\frac14+\frac12C, $$

所以 $C=\frac12$。令 $D_n=C_n-\frac12$，则

$$ D_{n+1}=\frac12D_n. $$

又 $B_1=4$，$C_1=\frac14$，所以

$$ D_1=\frac14-\frac12=-\frac14. $$

因此

$$ C_n=\frac12-\frac14\left(\frac12\right)^{n-1} =\frac{2^n-1}{2^{n+1}}. $$

于是

$$ a_n=B_n-1=\frac1{C_n}-1 =\frac{2^{n+1}}{2^n-1}-1 =\frac{2^n+1}{2^n-1}. $$

检查 $n=1$，得到 $a_1=3$，符合初值。

3. 已知 $a_1=4,\ a_{n+1}=\frac{7a_n-12}{2a_n-3}$，用平移后取倒数的方法求 $a_n$。

查看解答

解答： 先找不动点：

$$ x=\frac{7x-12}{2x-3}. $$

两边同乘得

$$ x(2x-3)=7x-12, $$

即

$$ 2x^2-10x+12=0, $$

所以

$$ x=2\quad\text{或}\quad x=3. $$

选择不动点 $2$，令

$$ B_n=a_n-2. $$

则

$$ B_{n+1}=a_{n+1}-2 =\frac{7a_n-12}{2a_n-3}-2 =\frac{3a_n-6}{2a_n-3} =\frac{3(a_n-2)}{2a_n-3}. $$

由 $a_n=B_n+2$，得

$$ B_{n+1}=\frac{3B_n}{2B_n+1}. $$

令 $C_n=\frac1{B_n}$，则

$$ C_{n+1} =\frac{2B_n+1}{3B_n} =\frac23+\frac13C_n. $$

它的不动点为 $C=1$。令 $D_n=C_n-1$，则

$$ D_{n+1}=\frac13D_n. $$

又 $B_1=2$，所以 $C_1=\frac12$，$D_1=-\frac12$。

因此

$$ C_n=1-\frac12\left(\frac13\right)^{n-1}. $$

所以

$$ a_n=2+\frac1{C_n} =2+\frac{2\cdot3^{n-1}}{2\cdot3^{n-1}-1} =\frac{6\cdot3^{n-1}-2}{2\cdot3^{n-1}-1}. $$

当 $n=1$ 时，右边为 $4$，符合初值。

4. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+3}$，求 $a_n$。

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解答： 这个题的不动点之一是 $0$。选择 $0$ 平移时，相当于令

$$ B_n=a_n. $$

于是原递推已经是

$$ B_{n+1}=\frac{2B_n}{B_n+3}. $$

令 $C_n=\frac1{B_n}$，则

$$ C_{n+1} =\frac{B_n+3}{2B_n} =\frac12+\frac32C_n. $$

这是一次线性递推。它的不动点满足

$$ C=\frac12+\frac32C, $$

所以 $C=-1$。令

$$ D_n=C_n+1, $$

则

$$ D_{n+1}=\frac32D_n. $$

又 $C_1=1$，所以 $D_1=2$。

因此

$$ D_n=2\left(\frac32\right)^{n-1}, $$
$$ C_n=2\left(\frac32\right)^{n-1}-1. $$

所以

$$ a_n=\frac1{C_n} =\frac{1}{2\left(\frac32\right)^{n-1}-1} =\frac{2^{n-1}}{2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}}. $$

当 $n=1$ 时，右边为 $1$，符合初值。

5. 已知 $a_1=3,\ a_{n+1}=\frac{6a_n-2}{a_n+3}$，用平移后取倒数的方法求 $a_n$。

查看解答

解答： 先找不动点：

$$ x=\frac{6x-2}{x+3}. $$

两边同乘：

$$ x(x+3)=6x-2, $$

即

$$ x^2-3x+2=0. $$

所以不动点为 $1,2$。选择不动点 $1$，令

$$ B_n=a_n-1. $$

则

$$ B_{n+1}=a_{n+1}-1 =\frac{6a_n-2}{a_n+3}-1 =\frac{5a_n-5}{a_n+3} =\frac{5(a_n-1)}{a_n+3}. $$

由 $a_n=B_n+1$，得

$$ B_{n+1}=\frac{5B_n}{B_n+4}. $$

令 $C_n=\frac1{B_n}$，则

$$ C_{n+1} =\frac{B_n+4}{5B_n} =\frac15+\frac45C_n. $$

它的不动点满足

$$ C=\frac15+\frac45C, $$

所以 $C=1$。令 $D_n=C_n-1$，则

$$ D_{n+1}=\frac45D_n. $$

又 $B_1=2$，所以 $C_1=\frac12$，$D_1=-\frac12$。

因此

$$ C_n=1-\frac12\left(\frac45\right)^{n-1}. $$

所以

$$ a_n=1+\frac1{C_n} =1+\frac{2\cdot5^{n-1}}{2\cdot5^{n-1}-4^{n-1}} =\frac{4\cdot5^{n-1}-4^{n-1}}{2\cdot5^{n-1}-4^{n-1}}. $$

当 $n=1$ 时，右边为 $3$，符合初值。

题型 K：因式分解型递推

1. 已知 $a_1=1,\ a_n>0$，且 $a_{n+1}^2-a_na_{n+1}-2a_n^2=0$，求 $a_n$。

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解答： 因式分解：

$$a_{n+1}^2-a_na_{n+1}-2a_n^2=(a_{n+1}-2a_n)(a_{n+1}+a_n).$$

因为 $a_n>0$，所以 $a_{n+1}+a_n>0$，只能取

$$a_{n+1}=2a_n.$$

因此 $a_n=2^{n-1}$。

2. 已知 $a_1=2,\ a_n>0,\ a_{n+1}>a_n$，且 $a_{n+1}^2-3a_na_{n+1}+2a_n^2=0$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 因式分解：

$$a_{n+1}^2-3a_na_{n+1}+2a_n^2=(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}-2a_n).$$

又 $a_{n+1}>a_n$，不能取 $a_{n+1}=a_n$，所以

$$a_{n+1}=2a_n.$$

因此 $a_n=2\cdot2^{n-1}=2^n$。

3. 已知 $a_1=1,\ a_n>0$，且 $(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-3a_n)=0$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 因为 $a_n>0$，所以 $a_{n+1}+a_n\ne0$。于是

$$a_{n+1}=3a_n.$$

所以

$$a_n=3^{n-1}.$$

4. 已知 $a_1=4$，且 $a_{n+1}^2-4a_na_{n+1}+4a_n^2=0$，求 $a_n$。

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解答： 左边是完全平方：

$$a_{n+1}^2-4a_na_{n+1}+4a_n^2=(a_{n+1}-2a_n)^2.$$

所以 $a_{n+1}=2a_n$。

因此

$$a_n=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}.$$

5. 已知 $a_1=1$，且每一步取满足 $a_{n+1}=na_n$ 的分支，求 $a_n$。

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解答： 这是累乘型：

$$a_n=a_1\cdot1\cdot2\cdots(n-1)=(n-1)!.$$

题型 L：带权和式递推

1. 已知 $a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n=n^2$，求 $a_n$。

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解答： 设

$$T_n=a_1+2a_2+\cdots+na_n=n^2.$$

则当 $n\ge2$ 时，

$$na_n=T_n-T_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1.$$

所以

$$a_n=2-\frac1n.$$

当 $n=1$ 时也符合。

2. 已知 $a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n=n(n+1)$，求 $a_n$。

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解答： 设 $T_n=n(n+1)$。则

$$na_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n=2n.$$

所以

$$a_n=2.$$

3. 已知 $a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n=n^3$，求 $a_n$。

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解答：

$$na_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1.$$

因此

$$a_n=3n-3+\frac1n.$$

4. 已知 $2a_1+2^2a_2+2^3a_3+\cdots+2^na_n=n2^n$，求 $a_n$。

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解答： 设

$$T_n=2a_1+2^2a_2+\cdots+2^na_n=n2^n.$$

则

$$2^n a_n=T_n-T_{n-1}=n2^n-(n-1)2^{n-1}=(n+1)2^{n-1}.$$

所以

$$a_n=\frac{n+1}{2}.$$

5. 已知 $a_1+3a_2+5a_3+\cdots+(2n-1)a_n=n^2$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 设

$$T_n=a_1+3a_2+\cdots+(2n-1)a_n=n^2.$$

则

$$(2n-1)a_n=T_n-T_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1.$$

所以

$$a_n=1.$$

题型 M：奇偶项与隔项递推

1. 已知 $a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}=2a_n$，求 $a_n$。

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解答： 隔两项递推，所以分奇偶。

奇数项：$a_1=1,\ a_3=2,\ a_5=4,\ldots$，所以

$$a_{2k-1}=2^{k-1}.$$

偶数项：$a_2=2,\ a_4=4,\ a_6=8,\ldots$，所以

$$a_{2k}=2^k.$$

2. 已知 $a_1=3,\ a_2=1,\ a_{n+2}=a_n+2$，求 $a_n$。

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解答： 奇数项每次加 $2$：

$$a_{2k-1}=3+2(k-1)=2k+1.$$

偶数项每次加 $2$：

$$a_{2k}=1+2(k-1)=2k-1.$$

3. 已知 $a_1=1,\ a_2=4,\ a_{n+2}=3a_n$，求 $a_n$。

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解答： 分奇偶。

$$a_{2k-1}=1\cdot3^{k-1}=3^{k-1},$$
$$a_{2k}=4\cdot3^{k-1}.$$

4. 已知 $a_1=2,\ a_2=5,\ a_{n+2}=a_n$，求 $a_n$。

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解答： 每隔两项相等，所以奇数项恒为 $2$，偶数项恒为 $5$：

$$a_{2k-1}=2,\quad a_{2k}=5.$$

5. 已知 $a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}=a_n+n$，求 $a_n$。

查看解答

解答： 分奇偶。

奇数项：

$$a_{2k-1}=1+(1+3+\cdots+(2k-3))=1+(k-1)^2.$$

偶数项：

$$a_{2k}=2+(2+4+\cdots+(2k-2))=2+k(k-1).$$

题型 N：猜想后用数学归纳法证明

1. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2n+1$，先写出前 4 项，猜想并证明 $a_n$。

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解答： 前四项为 $1,4,9,16$，猜想

$$a_n=n^2.$$

归纳证明：当 $n=1$ 时成立。若 $a_n=n^2$，则

$$a_{n+1}=a_n+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2.$$

所以猜想成立。

2. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1$，先写出前 4 项，猜想并证明 $a_n$。

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解答： 前四项为 $1,3,7,15$，猜想

$$a_n=2^n-1.$$

归纳证明：当 $n=1$ 时成立。若 $a_n=2^n-1$，则

$$a_{n+1}=2(2^n-1)+1=2^{n+1}-1.$$

所以猜想成立。

3. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+n(n+1)$，先写出前 4 项，猜想并证明 $a_n$。

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解答： 累加结构给出猜想：

$$a_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1).$$

因为

$$\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)=\sum_{k=1}^{n-1}(k^2+k)=\frac{(n-1)n(n+1)}3,$$

所以

$$a_n=2+\frac{(n-1)n(n+1)}3.$$

也可用归纳法验证：把 $n$ 换成 $n+1$ 后正好多加 $n(n+1)$。

4. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+2$，先写出前 4 项，猜想并证明 $a_n$。

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解答： 前四项为 $2,6,14,30$，猜想

$$a_n=2^{n+1}-2.$$

归纳证明：当 $n=1$ 时成立。若 $a_n=2^{n+1}-2$，则

$$a_{n+1}=2(2^{n+1}-2)+2=2^{n+2}-2.$$

所以猜想成立。

5. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=(n+1)a_n$，先写出前 4 项，猜想并证明 $a_n$。

查看解答

解答： 前四项为 $1,2,6,24$，猜想

$$a_n=n!.$$

归纳证明：当 $n=1$ 时成立。若 $a_n=n!$，则

$$a_{n+1}=(n+1)a_n=(n+1)n!=(n+1)!.$$

所以猜想成立。