数列求通项公式

课堂目标

这一讲的目标不是让学生背很多方法名，而是让她看到一个数列题时，能先判断“题目给了什么关系”，再选择合适的通项求法。

本讲主线：

1. 数列的含义。
2. 数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法。
3. 等差数列的含义及性质。
4. 等比数列的含义及性质。
5. 数列求通项公式：累加法、累乘法、构造等差或等比、分式递推中的不动点与取倒数、因式分解法、数学归纳法、$S_n$ 与 $a_n$ 互换、带权和式递推。
6. 数列求和：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法。这个部分单独放在下一页：数列求和。

这部分在解决什么问题

数列求通项公式的目标，是把递推关系、前 n 项和关系或局部规律，转成可以直接使用的 $a_n$。通项公式一旦清楚，后面的求和、单调性、最值、证明都会顺很多。

学生最容易误解的是：数列求通项不是“看到题就套一个公式”，而是先判断题目给的是差、比、和、递推、分式、因式，还是带权求和。

数列的几种表示方法

• 列表法：直接列出前几项，例如 $1,4,9,16,\cdots$。
• 图像法：把点 $(n,a_n)$ 画出来，看变化趋势。
• 通项公式法：直接给 $a_n=f(n)$，例如 $a_n=n^2$。
• 递推公式法：给初始项和相邻项关系，例如 $a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1$。

通项公式适合直接计算任意一项；递推公式适合描述“后一项如何由前一项得到”。求通项公式，本质上就是把递推描述转成直接描述。

等差数列与等比数列

等差数列：

常用性质：

• 若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。
• 等差中项：若 $a,b,c$ 成等差，则 $2b=a+c$。
• 前 n 项和：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}2$。

等比数列：

常用性质：

• 若 $m+n=p+q$，则 $a_ma_n=a_pa_q$。
• 等比中项：若 $a,b,c$ 成等比，则 $b^2=ac$。
• 前 n 项和：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\ (q\ne1)$。

求通项的方法地图

1. 累加法

信号：题目给出

做法：把差从 $1$ 加到 $n-1$。

例：$a_1=1,\ a_{n+1}-a_n=2n+1$，则

2. 累乘法

信号：题目给出

或

做法：把比值从 $1$ 乘到 $n-1$。

例：$a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n$，则

3. 由 $S_n$ 求 $a_n$

信号：题目给前 n 项和 $S_n$。

必须分两步：

最后要检查 $n=1$ 是否能统一进通项公式。

例：$S_n=n^2+3n$。则 $a_1=4$；当 $n\ge2$ 时，

因为 $n=1$ 时也成立，所以 $a_n=2n+2$。

4. 待定系数法：构造等差或等比

这是课堂里最重要的一类“构造新数列”。

一次线性递推

形如

若 $p\ne1$，设 $a_{n+1}+c=p(a_n+c)$，解出 $c$，就把 $\{a_n+c\}$ 构造成等比数列。

例：$a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+3$。

所以 $a_n+3=4\cdot2^{n-1}$，即

若 $p=1$，它退化为累加法：$a_{n+1}-a_n=q$。

多项式扰动

形如

常用想法：设

或设一个二次多项式作为修正项，把它构造成等比或等差结构。课堂上不必一开始讲得太抽象，可以先让学生知道：右边出现二次多项式，构造项也往往要带二次多项式。

指数扰动

形如

常见处理：把 $B^n$ 看成一个已知等比数列，尝试构造

使其转化为等比或更简单的递推。若 $p=B$，还可能出现 $nB^n$ 型修正项，这类题要特别小心。

5. 二阶线性递推与特征方程

信号：题目同时含有 $a_{n+1},a_n,a_{n-1}$，例如

如果是常系数齐次线性递推，可以考虑特征方程：

若特征根为 $r_1,r_2$ 且 $r_1\ne r_2$，通项通常写成

若有重根 $r$，则通常出现

这部分对高二升高三学生属于进阶内容。建议放在“会识别即可，遇到再讲”的位置，不要在第一轮复习里压太重。

6. 分式型递推：不动点、距离比与平移取倒数

如果需要把这个原理从头手推一遍，可以单独看：两不动点距离比法：从定义到手动推导。

这一类题的研究对象不是一个孤立公式，而是一个反复作用的变换：

当 $f(x)$ 是一次分式变换时，常见形式为

这里首先要问三个问题：

1. 这个变换在哪些 $x$ 上有意义？至少要有 $Bx+C\ne0$。
2. 有没有某些数被这个变换保持不动？
3. 能否找到一个新变量，让反复作用的分式变换变成等差、等比或一次线性递推？

定义：什么是不动点

若数 $\alpha$ 满足

则称 $\alpha$ 是变换 $f$ 的不动点。

这个定义的含义很直接：如果某一步 $a_n=\alpha$，那么

后面的每一项都会继续等于 $\alpha$。所以不动点不是人为发明的技巧，而是递推系统自己给出的稳定位置。

命题 1：一次线性递推为什么要平移到不动点

若

且 $\alpha$ 是不动点，即

则两式相减：

这说明真正变成等比数列的不是 $a_n$ 本身，而是“$a_n$ 到不动点 $\alpha$ 的距离”。平时写的“令 $b_n=a_n+c$”，本质上就是把坐标原点平移到不动点。

命题 2：一次分式变换为什么要看两个不动点的距离比

设

并且 $\alpha,\beta$ 是两个不同的不动点。也就是说

我们证明：在相关分母不为 0 的条件下，

其中 $\lambda$ 是常数。证明如下。

先看分子：

整理得

因为 $\alpha$ 是不动点，

在 $B\alpha+C\ne0$ 的条件下，两边同乘得

于是

代回去：

同理，

两式相除，公共分母 $Bx+C$ 消去：

所以对数列而言，若令

就得到

这才是“构造距离比”的来源：它不是猜出来的，而是一次分式变换对两个不动点的距离比只产生常数倍改变。

边界要说清楚：若 $a_1=\beta$，则数列可能直接成为常值数列；若某一步 $a_n=\beta$，则 $b_n$ 无定义，要单独讨论；若原递推分母为 0，则原数列本身在那一步无定义。

例题：两个不动点距离比法

已知

先找不动点：

在 $2x-1\ne0$ 的条件下，两边同乘：

即

解得

因此两个不动点是 $1,2$。令

下面不是跳步，而是直接验证这个新变量会变成等比：

所以

又

所以

由

解得

最后检查：当 $n=1$ 时，右边为 $4$，符合初值。

图中方法：平移参数消常数项，再取倒数

你图里的方法可以抽象成一个更一般的流程。

先把递推式写成关于 $a_n,a_{n+1}$ 的方程

然后令

把 $a_n=B_n-\alpha,\ a_{n+1}=B_{n+1}-\alpha$ 代入。如果代入后的常数项为 0，方程就会只剩下

这一类结构。此时在 $B_nB_{n+1}\ne0$ 的条件下，两边除以 $B_nB_{n+1}$：

令

就得到一次线性递推

这一步解释了为什么图中会自然出现 $\frac1{B_n}$：不是为了取倒数而取倒数，而是因为平移后的方程含有 $B_nB_{n+1}$、$B_n$、$B_{n+1}$ 三种项，除以乘积后必然变成倒数的一次关系。

还要解释为什么“让常数项为 0”等价于找不动点。代入后的常数项，就是把 $B_n=0,\ B_{n+1}=0$ 代入所得，也就是把 $a_n=-\alpha,\ a_{n+1}=-\alpha$ 代入原方程所得。因此常数项为 0，正是在说

也就是 $-\alpha$ 是原递推变换的不动点。

例题：完整还原图中的做法

已知

先整理为方程：

令

代入原方程：

展开：

为了让它变成可以取倒数的一次关系，令常数项为 0：

解得

这两个值对应原递推的两个不动点 $-1$ 和 $\frac13$。这里取 $\alpha=1$，即

于是方程化为

因为 $B_1=a_1+1=3\ne0$，且后面得到的表达式不会使 $B_n=0$，可以除以 $B_nB_{n+1}$：

令

则

这是一次线性递推。它的不动点满足

所以

令

则

又

因此

由 $C_n=\frac1{B_n}$，$B_n=a_n+1$，得到

检查初值：当 $n=1$ 时，

符合 $a_1=2$。

课堂判断顺序

遇到分式递推时，建议按以下顺序问：

1. 原递推在哪些项上有定义？
2. 不动点是什么？
3. 两个不动点都能找到时，能否构造距离比？
4. 如果选择一个不动点平移，代入后常数项能否消掉？
5. 消掉常数项后，能否通过除以乘积转为倒数的一次线性递推？
6. 最后得到的通项是否满足初值和原递推的定义条件？

7. 因式分解型递推

信号：递推式不是直接给出 $a_{n+1}$，而是一个关于 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的方程。常见做法是因式分解，分支后再结合初值、正负性或题设条件判断应该取哪一支。

例型：

把它看成关于 $a_{n+1}$ 的方程，解出 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的比例关系，再转为等比或累乘。

再如：

因式分解为

如果题目给出 $a_n>0$ 或初值为正，就能排除不合适的分支。

还有根式型：

这类题要考虑令 $b_n=\sqrt{a_n}$，把根式关系转成关于 $b_n$ 的关系。

8. 带权和式递推

信号：题目给的是带权求和关系，例如

做法：把左边整体记作 $T_n$，再写出 $T_{n-1}$，两式相减。

例：

则

相减得

所以

如果权重是 $2,2^2,2^3,\cdots,2^n$，同样先整体记作 $T_n$，再用 $T_n-T_{n-1}$ 提取最后一项。

9. 奇偶项或隔项递推

这是外部核对后建议补进来的一个常见遗漏点。

信号：递推关系让 $a_{n+2}$ 和 $a_n$ 直接相连，例如

此时不要强行把所有项揉在一起，而是把奇数项和偶数项分开看：

• $a_1,a_3,a_5,\cdots$ 组成一个子数列。
• $a_2,a_4,a_6,\cdots$ 组成另一个子数列。

分别求出两个子数列后，再写成分段通项或用 $(-1)^n$ 统一表达。

10. 数学归纳法：猜想后的证明工具

数学归纳法不是万能求法，它更像验证工具。

使用顺序通常是：

1. 先算前几项。
2. 观察并猜想 $a_n$。
3. 用数学归纳法证明猜想正确。

如果规律很难猜，就不要硬用归纳法。它适合检查“我猜出来的公式到底对不对”。

易错点

• 累加时上下限错，尤其是从 $a_1$ 累到 $a_n$ 时，应该加到 $n-1$。
• 累乘时忽略某些项不能为 0，导致除法不合法。
• 由 $S_n$ 求 $a_n$ 时忘记单独检查 $n=1$。
• 看到 $a_{n+1}=pa_n+q$ 时，只会迭代，不会构造 $a_n+c$。
• 分式递推没有先观察取倒数或不动点。
• 因式分解型题目分支后，没有根据初值或正负条件排除错误分支。
• 二阶递推套特征方程时，忘记重根情形。
• 隔项递推没有把奇偶项分开。

复习作业

A 组：基础识别，全部完成。

1. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}-a_n=3$，求 $a_n$。
2. 已知 $a_1=3,\ a_{n+1}=2a_n$，求 $a_n$。
3. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}-a_n=2n+1$，求 $a_n$。
4. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+3$，求 $a_n$。
5. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}$，求 $a_n$。
6. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n$，求 $a_n$。

B 组：方法转换，要求写出“为什么想到这个方法”。

1. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+3\cdot2^n$，求 $a_n$。
2. 已知 $a_1=0,\ a_{n+1}=3a_n+2$，求 $a_n$。
3. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n$，求 $a_n$。
4. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}-a_n=\frac1{n(n+1)}$，求 $a_n$。
5. 已知 $S_n=n^2+3n$，求 $a_n$。
6. 已知 $S_n=2^n-1$，求 $a_n$。
7. 已知 $a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+2^n$，求 $a_n$。
8. 已知 $a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{n}{n+2}a_n$，求 $a_n$。
9. 已知 $a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}=3a_n$，求 $a_n$。
10. 已知 $a_1+2a_2+\cdots+na_n=n^2$，求 $a_n$。

C 组：讲题题，任选 2 题准备口头讲解。

1. 对比 $a_{n+1}-a_n=3n+1$ 与 $a_{n+1}=3a_n+1$，说明为什么一个偏累加，一个偏构造等比。
2. 为什么 $a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}$ 要考虑取倒数？
3. 由 $S_n$ 求 $a_n$ 时，为什么必须单独看 $a_1$？
4. 因式分解型递推为什么不能只解出两个分支就结束？还要检查什么？
5. 遇到 $a_{n+2}=qa_n+r$，为什么要先分奇偶项？

参考答案

1. $a_n=3n-1$。
2. $a_n=3\cdot2^{n-1}$。
3. $a_n=n^2$。
4. $a_n=2^{n+1}-3$。
5. $a_n=\frac1n$。
6. $a_n=2n$。
7. $a_n=3\cdot2^n-5$。
8. $a_n=3^{n-1}-1$。
9. $a_n=\frac2n$。
10. $a_n=2-\frac1n$。
11. $a_n=2n+2$。
12. $a_n=2^{n-1}$。
13. $a_n=n2^{n-1}$。
14. $a_n=\frac{6}{n(n+1)}$。
15. $a_{2k-1}=3^{k-1},\ a_{2k}=2\cdot3^{k-1}$。
16. $a_n=2-\frac1n$。

外部核对后的补充说明

我核对了公开资料中对“数列通项公式求解”的归纳，常见方法包括逐差全加、逐商全乘、从和式求通项、换元法、不动点法、数学归纳法和特征方程法。和课堂大纲相比，最值得补进高中复习体系的是：不动点视角、二阶线性递推的特征方程、奇偶项分组、以及“猜想后用归纳法证明”的定位。

参考：

• 数列：通项公式的求解
• 二阶线性递推式
• 等差-等比数列与错位相减