返回专题首页：平面向量。基础题入口：平面向量专项练习。
这一页不是把题目原样堆上来，而是先把本地资料中的题型结构抽出来，再重新写成适合课堂讲解和课后复述的题库。学生做题时不要只算答案，要能说出：这道题到底把哪个几何关系翻译成了向量关系。
本地资料梳理
当前文件夹中可用的平面向量资料主要来自 考点讲解2021年高考数学复习一轮复习笔记（65个考点讲解全），对应三组资料：
- 考点 56：平面向量的线性运算及基本定理。重点是相等向量、共线向量、线性表示、基底分解、分点和参数。
- 考点 57：平面向量数量积。重点是数量积计算、夹角、投影、垂直、长度平方和参数。
- 考点 58：平面向量的应用。重点是判断三角形形状、向量与几何图形结合、最值范围和简单轨迹。
网上资料补充时，我主要校验了三个标准对象：线性组合、数量积、向量投影。可以把它们看成三条主线：
- 线性组合：把几何图形中的点和线段放进同一组基底里。
- 数量积：把夹角、垂直、投影、长度平方统一成一个代数运算。
- 投影：把“一个方向上的分量”从图形语言转成数量积公式。
参考入口：linear combination、dot product、vector projection。
题型地图
- 看到“向量相等、单位向量、命题真假”，先回到定义，不要拿长度代替方向。
- 看到“点在线段上、三点共线、分点”，优先设基底，把点写成 $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$。
- 看到“夹角、垂直、投影、长度”，优先想到数量积。
- 看到“最值、范围、轨迹”，把目标写成平方或坐标，再看二次函数、距离公式或圆。
- 看到“三角形形状”，把等腰、直角、钝角、等边翻译成长度平方和数量积。
A. 线性运算、相等向量与命题辨析
题 1：向量命题真假
判断下列命题的真假，并写出错误命题的序号。
- 两个有公共起点的非零向量一定共线。
- 若 $\vec a=\vec b$，则 $|\vec a|=|\vec b|$。
- 若 $|\vec a|=|\vec b|$，则 $\vec a=\vec b$。
- 若 $\lambda \vec a=\vec 0$ 且 $\vec a\ne \vec 0$，则 $\lambda=0$。
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命题 1 错。公共起点只说明两支箭头从同一点出发，不说明方向相同或相反。
命题 2 对。相等向量要求长度相等、方向相同，所以模一定相等。
命题 3 错。长度相等不代表方向相同。
命题 4 对。非零向量乘一个实数得到零向量，只能是实数为 0。
所以错误命题是 1 和 3。
题 2：单位向量与投影
已知 $\vec a,\vec b$ 都是单位向量，且夹角为 $120^\circ$。求 $|\vec a+\vec b|$，并求 $\vec a$ 在 $\vec b$ 方向上的投影。
查看解析
先算数量积：
$$
\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos120^\circ=-\frac12.
$$
于是
$$
|\vec a+\vec b|^2
=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\cdot\vec b
=1+1-1=1,
$$
所以
$$
|\vec a+\vec b|=1.
$$
$\vec a$ 在 $\vec b$ 方向上的投影是有符号长度：
$$
\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}=-\frac12.
$$
题 3：首尾相接与反向
在四边形 $ABCD$ 中，化简
$$
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}.
$$
查看解析
先把减法变成加反向量：
$$
-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}.
$$
所以原式为
$$
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}.
$$
首尾相接：
$$
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},
$$
再接上 $\overrightarrow{CD}$：
$$
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.
$$
答案是 $\overrightarrow{AD}$。
题 4：由线性关系判断方向
已知 $\vec b\ne \vec 0$，且
$$
2\vec a-3\vec b=\vec 0.
$$
判断 $\vec a,\vec b$ 是否共线，并说明方向关系。
查看解析
由题意
$$
2\vec a=3\vec b,
$$
所以
$$
\vec a=\frac32\vec b.
$$
一个向量是另一个非零向量的实数倍，所以二者共线。因为系数 $\frac32>0$，所以方向相同。
题 5：平行四边形中的对角线
在平行四边形 $ABCD$ 中，设 $\overrightarrow{AB}=\vec a,\overrightarrow{AD}=\vec b$，$O$ 是对角线交点。用 $\vec a,\vec b$ 表示 $\overrightarrow{AO}$ 和 $\overrightarrow{BD}$。
查看解析
平行四边形对角线互相平分，所以
$$
\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b,\qquad
\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}
=\frac{\vec a+\vec b}{2}.
$$
从 $B$ 到 $D$ 可以走 $B\to A\to D$：
$$
\overrightarrow{BD}
=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}
=-\vec a+\vec b
=\vec b-\vec a.
$$
B. 基底分解、分点与参数表示
题 6：内分点表示
在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上，且 $BD:DC=2:1$。设 $\overrightarrow{AB}=\vec b,\overrightarrow{AC}=\vec c$，用 $\vec b,\vec c$ 表示 $\overrightarrow{AD}$。
查看解析
$BD:DC=2:1$，说明 $D$ 更靠近 $C$，从 $B$ 到 $C$ 走了全程的 $\frac23$。
$$
\overrightarrow{AD}
=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}
=\vec b+\frac23\overrightarrow{BC}.
$$
而
$$
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}
=\vec c-\vec b.
$$
所以
$$
\overrightarrow{AD}
=\vec b+\frac23(\vec c-\vec b)
=\frac13\vec b+\frac23\vec c.
$$
题 7：两边分点连线
在 $\triangle ABC$ 中，点 $E$ 在 $AB$ 上，$AE:EB=1:2$；点 $F$ 在 $AC$ 上，$AF:FC=2:1$。设 $\overrightarrow{AB}=\vec b,\overrightarrow{AC}=\vec c$，求 $\overrightarrow{EF}$。
查看解析
由 $AE:EB=1:2$ 得
$$
\overrightarrow{AE}=\frac13\vec b.
$$
由 $AF:FC=2:1$ 得
$$
\overrightarrow{AF}=\frac23\vec c.
$$
于是
$$
\overrightarrow{EF}
=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}
=-\frac13\vec b+\frac23\vec c.
$$
题 8：重心向量
在 $\triangle ABC$ 中，$G$ 是重心。设 $\overrightarrow{AB}=\vec b,\overrightarrow{AC}=\vec c$，求 $\overrightarrow{AG}$。
查看解析
以 $A$ 为原点理解，$B$ 的位置向量是 $\vec b$，$C$ 的位置向量是 $\vec c$，$A$ 的位置向量是 $\vec 0$。
重心的位置向量是三个顶点位置向量的平均：
$$
\overrightarrow{AG}
=\frac{\vec 0+\vec b+\vec c}{3}
=\frac{\vec b+\vec c}{3}.
$$
题 9：平行四边形边上中点
在平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB}=\vec a,\overrightarrow{AD}=\vec b$。点 $E$ 是 $BC$ 的中点，求 $\overrightarrow{AE}$。
查看解析
因为 $BC\parallel AD$ 且相等，所以
$$
\overrightarrow{BC}=\vec b.
$$
点 $E$ 是 $BC$ 的中点：
$$
\overrightarrow{BE}=\frac12\vec b.
$$
于是
$$
\overrightarrow{AE}
=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}
=\vec a+\frac12\vec b.
$$
题 10：中线上的参数
在 $\triangle ABC$ 中，点 $P$ 在从 $A$ 到 $BC$ 中点 $M$ 的中线段上。设
$$
\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}.
$$
说明 $x,y$ 满足什么关系。
查看解析
先写出中点 $M$：
$$
\overrightarrow{AM}
=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}2.
$$
因为 $P$ 在中线段 $AM$ 上，所以存在 $0\le t\le 1$，使
$$
\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AM}
=\frac t2\overrightarrow{AB}+\frac t2\overrightarrow{AC}.
$$
因此
$$
x=y,\qquad 0\le x=y\le \frac12.
$$
C. 共线、三点共线与取值范围
题 11：非共线基底下的共线参数
已知 $\vec a,\vec b$ 不共线，
$$
\vec u=\vec a+(t-1)\vec b,\qquad
\vec v=2\vec a+(3t-1)\vec b.
$$
若 $\vec u\parallel \vec v$，求 $t$。
查看解析
在基底 $\vec a,\vec b$ 下，两个向量共线等价于对应系数成比例，即
$$
\begin{vmatrix}
1 & t-1\\
2 & 3t-1
\end{vmatrix}=0.
$$
所以
$$
1(3t-1)-2(t-1)=0,
$$
即
$$
3t-1-2t+2=0.
$$
因此
$$
t=-1.
$$
题 12：点在边上的判定
在 $\triangle ABC$ 中，设
$$
\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}.
$$
写出 $P$ 在直线 $BC$ 上、在线段 $BC$ 上分别对应的条件。
查看解析
点在直线 $BC$ 上时，可以写成
$$
\overrightarrow{AP}=(1-s)\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}
$$
其中 $s$ 为实数。
所以直线 $BC$ 上的条件是
$$
x+y=1.
$$
如果 $P$ 在线段 $BC$ 上，还要 $0\le s\le 1$，也就是两个权重都非负：
$$
x+y=1,\qquad x\ge0,\qquad y\ge0.
$$
题 13：平行线中的比例
在 $\triangle ABC$ 中，$P$ 在 $AB$ 上，$AP:PB=m:1$；$Q$ 在 $AC$ 上，$AQ:QC=2:3$。若 $PQ\parallel BC$，求 $m$。
查看解析
设 $\overrightarrow{AB}=\vec b,\overrightarrow{AC}=\vec c$。
由 $AP:PB=m:1$ 得
$$
\overrightarrow{AP}=\frac{m}{m+1}\vec b.
$$
由 $AQ:QC=2:3$ 得
$$
\overrightarrow{AQ}=\frac25\vec c.
$$
于是
$$
\overrightarrow{PQ}
=-\frac{m}{m+1}\vec b+\frac25\vec c.
$$
又
$$
\overrightarrow{BC}=-\vec b+\vec c.
$$
若 $PQ\parallel BC$，两个系数要按同一比例对应：
$$
\frac{m}{m+1}=\frac25.
$$
解得
$$
5m=2m+2,\qquad m=\frac23.
$$
题 14：延长线上的系数
在 $\triangle ABC$ 中，点 $P$ 在 $BC$ 的延长线上，且在 $C$ 的外侧。若
$$
\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC},
$$
写出 $x,y$ 应满足的条件。
查看解析
点在直线 $BC$ 上，先有
$$
x+y=1.
$$
如果 $P$ 在 $C$ 的外侧，说明从 $B$ 到 $C$ 的参数超过 1：
$$
\overrightarrow{AP}=(1-s)\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC},\qquad s>1.
$$
因此
$$
y>1,\qquad x=1-y<0.
$$
条件可以写成
$$
x+y=1,\qquad x<0,\qquad y>1.
$$
题 15：三角形内部点的范围
在 $\triangle ABC$ 中，
$$
\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+(2-3m)\overrightarrow{AC}.
$$
若 $P$ 在 $\triangle ABC$ 的内部，求 $m$ 的取值范围。
查看解析
若
$$
\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC},
$$
则 $P$ 在三角形内部的条件是
$$
x>0,\qquad y>0,\qquad x+y<1.
$$
本题中
$$
x=m,\qquad y=2-3m.
$$
所以
$$
m>0,\qquad 2-3m>0,\qquad m+2-3m<1.
$$
整理得
$$
m>0,\qquad m<\frac23,\qquad m>\frac12.
$$
因此
$$
\frac12<m<\frac23.
$$
D. 坐标法、数量积与夹角
题 16：坐标数量积
已知 $\vec a=(2,-1),\vec b=(1,3)$，求 $\vec a\cdot\vec b$ 以及两向量夹角的余弦值。
查看解析
数量积为
$$
\vec a\cdot\vec b=2\cdot1+(-1)\cdot3=-1.
$$
模长为
$$
|\vec a|=\sqrt5,\qquad |\vec b|=\sqrt{10}.
$$
因此
$$
\cos\theta
=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}
=-\frac{1}{\sqrt{50}}.
$$
题 17：坐标判断直角
已知 $A(1,1),B(4,1),C(4,5)$。求 $\angle ABC$ 的大小。
查看解析
角 $ABC$ 的两条边对应向量是
$$
\overrightarrow{BA}=A-B=(-3,0),
$$
$$
\overrightarrow{BC}=C-B=(0,4).
$$
数量积
$$
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-3)\cdot0+0\cdot4=0.
$$
所以两向量垂直，
$$
\angle ABC=90^\circ.
$$
题 18：参数垂直
已知 $\vec a=(1,2),\vec b=(t,-1)$。若 $\vec a\perp\vec b$，求 $t$。
查看解析
垂直等价于数量积为 0：
$$
\vec a\cdot\vec b=1\cdot t+2\cdot(-1)=t-2.
$$
令
$$
t-2=0,
$$
得
$$
t=2.
$$
题 19：夹角为 $60^\circ$
已知 $\vec a=(2,0),\vec b=(1,t)$，若 $\vec a,\vec b$ 的夹角为 $60^\circ$，求 $t$。
查看解析
先写余弦公式：
$$
\cos60^\circ
=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}.
$$
其中
$$
\vec a\cdot\vec b=2,\qquad
|\vec a|=2,\qquad
|\vec b|=\sqrt{1+t^2}.
$$
所以
$$
\frac12=\frac{2}{2\sqrt{1+t^2}}
=\frac1{\sqrt{1+t^2}}.
$$
因此
$$
\sqrt{1+t^2}=2,\qquad t^2=3.
$$
所以
$$
t=\pm\sqrt3.
$$
题 20：组合向量的数量积
已知 $\vec a=(1,2),\vec b=(2,-1)$，求
$$
(2\vec a-\vec b)\cdot(\vec a+\vec b).
$$
查看解析
先观察：
$$
\vec a\cdot\vec b=1\cdot2+2\cdot(-1)=0,
$$
并且
$$
|\vec a|^2=5,\qquad |\vec b|^2=5.
$$
展开：
$$
(2\vec a-\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)
=2|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b-\vec b\cdot\vec a-|\vec b|^2.
$$
代入得
$$
2\cdot5+0-0-5=5.
$$
E. 投影、垂直与长度平方
题 21：投影长度和投影向量
已知 $\vec a=(3,4),\vec b=(1,0)$。求 $\vec a$ 在 $\vec b$ 方向上的投影长度，并求 $\vec a$ 在 $\vec b$ 方向上的投影向量。
查看解析
$\vec b$ 是 $x$ 轴正方向单位向量，所以可以直接看出投影长度是 3。
用公式验证：
$$
\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}
=\frac{3}{1}=3.
$$
投影向量为
$$
\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|^2}\vec b
=3(1,0)=(3,0).
$$
题 22：加一个倍数使垂直
已知 $\vec a=(2,1),\vec b=(1,1)$。求实数 $k$，使
$$
\vec a+k\vec b\perp \vec b.
$$
查看解析
垂直等价于数量积为 0：
$$
(\vec a+k\vec b)\cdot\vec b=0.
$$
展开：
$$
\vec a\cdot\vec b+k|\vec b|^2=0.
$$
计算
$$
\vec a\cdot\vec b=3,\qquad |\vec b|^2=2.
$$
所以
$$
3+2k=0,\qquad k=-\frac32.
$$
题 23：长度平方展开
已知 $|\vec a|=3,|\vec b|=2$，且 $\vec a,\vec b$ 的夹角为 $60^\circ$。求 $|2\vec a-\vec b|$。
查看解析
先算
$$
\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos60^\circ=3.
$$
然后展开长度平方：
$$
|2\vec a-\vec b|^2
=(2\vec a-\vec b)\cdot(2\vec a-\vec b).
$$
所以
$$
|2\vec a-\vec b|^2
=4|\vec a|^2-4\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2
=36-12+4=28.
$$
因此
$$
|2\vec a-\vec b|=2\sqrt7.
$$
题 24：距离平方和最小
已知 $A(-1,0),B(3,0)$，点 $P=(x,2)$ 在直线 $y=2$ 上。求
$$
|PA|^2+|PB|^2
$$
的最小值。
查看解析
设 $AB$ 的中点为 $M(1,0)$。有恒等式
$$
|PA|^2+|PB|^2
=2|PM|^2+\frac12|AB|^2.
$$
这里
$$
|AB|=4,\qquad |PM|^2=(x-1)^2+4.
$$
所以
$$
|PA|^2+|PB|^2
=2[(x-1)^2+4]+8.
$$
当 $x=1$ 时最小，最小值为
$$
2\cdot4+8=16.
$$
题 25：中线长度
在 $\triangle ABC$ 中，$AB=5,AC=7,\angle BAC=60^\circ$。$M$ 是 $BC$ 的中点，求 $AM$。
查看解析
令
$$
\vec u=\overrightarrow{AB},\qquad \vec v=\overrightarrow{AC}.
$$
则
$$
\overrightarrow{AM}=\frac{\vec u+\vec v}{2}.
$$
所以
$$
AM^2=\frac14|\vec u+\vec v|^2
=\frac14(|\vec u|^2+|\vec v|^2+2\vec u\cdot\vec v).
$$
而
$$
\vec u\cdot\vec v=5\cdot7\cos60^\circ=\frac{35}{2}.
$$
于是
$$
AM^2=\frac14(25+49+35)=\frac{109}{4}.
$$
因此
$$
AM=\frac{\sqrt{109}}2.
$$
F. 向量与三角形形状判断
题 26：坐标判断三角形形状
已知 $A(0,0),B(4,0),C(1,\sqrt{15})$。判断 $\triangle ABC$ 的形状。
查看解析
计算三边平方：
$$
AB^2=16.
$$
$$
AC^2=1^2+(\sqrt{15})^2=16.
$$
$$
BC^2=(1-4)^2+(\sqrt{15}-0)^2=9+15=24.
$$
所以 $AB=AC$，但不满足直角关系。因此 $\triangle ABC$ 是等腰三角形。
题 27：由数量积等式判断等腰
在 $\triangle ABC$ 中，若
$$
(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot
(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=0,
$$
判断三角形形状。
查看解析
利用平方差结构：
$$
(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)
=|\vec u|^2-|\vec v|^2.
$$
令 $\vec u=\overrightarrow{AB},\vec v=\overrightarrow{AC}$，题设变成
$$
AB^2-AC^2=0.
$$
所以
$$
AB=AC.
$$
因此 $\triangle ABC$ 是以 $A$ 为顶点的等腰三角形。
题 28：等腰直角
在 $\triangle ABC$ 中，若
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0,
\qquad
|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|,
$$
判断 $\triangle ABC$ 的形状。
查看解析
数量积为 0 说明
$$
AB\perp AC.
$$
又因为
$$
AB=AC,
$$
所以 $\angle A=90^\circ$，且两条直角边相等。
因此 $\triangle ABC$ 是以 $A$ 为直角顶点的等腰直角三角形。
题 29：由数量积判断等边
在 $\triangle ABC$ 中，已知
$$
|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=2,
\qquad
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2.
$$
判断 $\triangle ABC$ 的形状。
查看解析
设 $\angle BAC=\theta$，则
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos\theta.
$$
代入：
$$
2=2\cdot2\cos\theta,
$$
所以
$$
\cos\theta=\frac12,\qquad \theta=60^\circ.
$$
两边相等且夹角为 $60^\circ$，第三边也为 2，所以三角形为等边三角形。
题 30：钝角判断
在 $\triangle ABC$ 中，若
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}<0,
$$
说明 $\angle A$ 的类型，并判断三角形形状。
查看解析
数量积公式为
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
=AB\cdot AC\cdot \cos A.
$$
因为 $AB,AC>0$，所以数量积的符号由 $\cos A$ 决定。
题设数量积小于 0，说明
$$
\cos A<0.
$$
因此
$$
90^\circ<A<180^\circ.
$$
$\triangle ABC$ 是钝角三角形，钝角为 $\angle A$。
G. 向量应用：最值、范围与轨迹
题 31：带参数的长度范围
已知 $\vec a,\vec b$ 都是单位向量，夹角为 $120^\circ$。当 $0\le t\le2$ 时，求
$$
|\vec a+t\vec b|
$$
的取值范围。
查看解析
先平方：
$$
|\vec a+t\vec b|^2
=|\vec a|^2+t^2|\vec b|^2+2t\vec a\cdot\vec b.
$$
因为
$$
\vec a\cdot\vec b=\cos120^\circ=-\frac12,
$$
所以
$$
|\vec a+t\vec b|^2
=1+t^2-t
=\left(t-\frac12\right)^2+\frac34.
$$
当 $0\le t\le2$ 时，平方的最小值在 $t=\frac12$ 处，为 $\frac34$。
最大值比较端点：
$$
t=0\Rightarrow 1,\qquad t=2\Rightarrow 3.
$$
所以
$$
\frac{\sqrt3}{2}\le |\vec a+t\vec b|\le \sqrt3.
$$
题 32：直径所对圆周角
已知 $A(0,0),B(4,0)$。动点 $P(x,y)$ 满足
$$
\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0.
$$
求点 $P$ 的轨迹方程。
查看解析
先写向量：
$$
\overrightarrow{PA}=A-P=(-x,-y),
$$
$$
\overrightarrow{PB}=B-P=(4-x,-y).
$$
数量积为 0：
$$
(-x)(4-x)+(-y)(-y)=0.
$$
整理：
$$
x^2-4x+y^2=0.
$$
配方：
$$
(x-2)^2+y^2=4.
$$
所以轨迹是以 $(2,0)$ 为圆心、半径为 2 的圆。几何意义是：以 $AB$ 为直径的圆上，$\angle APB=90^\circ$。
题 33：点到直线的最短距离
点 $P(x,y)$ 在直线 $x+y=4$ 上。求 $|\overrightarrow{OP}|^2=x^2+y^2$ 的最小值。
查看解析
要让 $x^2+y^2$ 最小，就是找直线 $x+y=4$ 上离原点最近的点。
最近点在法向量方向上。直线 $x+y=4$ 的法向量是 $(1,1)$，所以最近点形如
$$
P=(t,t).
$$
代入直线：
$$
2t=4,\qquad t=2.
$$
所以最近点是 $(2,2)$，最小值为
$$
2^2+2^2=8.
$$
题 34：夹角变化时的长度范围
已知 $|\vec a|=2,|\vec b|=3$，$\vec a,\vec b$ 的夹角可以变化。求
$$
|\vec a+\vec b|
$$
的取值范围。
查看解析
设夹角为 $\theta$，则
$$
|\vec a+\vec b|^2
=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec a||\vec b|\cos\theta.
$$
代入：
$$
|\vec a+\vec b|^2=4+9+12\cos\theta.
$$
因为
$$
-1\le\cos\theta\le1,
$$
所以
$$
1\le|\vec a+\vec b|^2\le25.
$$
因此
$$
1\le|\vec a+\vec b|\le5.
$$
题 35：点在线段上时的最短距离
在 $\triangle ABC$ 中，$AB=6,AC=8,\angle BAC=60^\circ$。点 $P$ 在线段 $BC$ 上，求 $AP$ 的最小值。
查看解析
点 $P$ 在线段 $BC$ 上，$AP$ 的最小值就是 $A$ 到直线 $BC$ 的距离。先求面积：
$$
S_{\triangle ABC}
=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin60^\circ
=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}{2}
=12\sqrt3.
$$
再求 $BC$：
$$
BC^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cos60^\circ
=36+64-48=52.
$$
所以
$$
BC=2\sqrt{13}.
$$
设高为 $h$，则
$$
S=\frac12BC\cdot h.
$$
于是
$$
h=\frac{2S}{BC}
=\frac{24\sqrt3}{2\sqrt{13}}
=12\sqrt{\frac3{13}}.
$$
所以 $AP$ 的最小值为
$$
12\sqrt{\frac3{13}}.
$$
H. 高考小题速度训练
题 36：共线填空
已知 $\vec a=(m,2),\vec b=(3,6)$，若 $\vec a\parallel\vec b$，求 $m$。
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共线等价于坐标行列式为 0：
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6m-2\cdot3=0.
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所以
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6m-6=0,\qquad m=1.
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题 37：单位向量差的长度
已知 $|\vec a|=|\vec b|=1$，且 $\vec a\cdot\vec b=\frac12$。求 $|\vec a-\vec b|$。
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平方：
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|\vec a-\vec b|^2
=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b.
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代入：
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|\vec a-\vec b|^2
=1+1-2\cdot\frac12=1.
$$
所以
$$
|\vec a-\vec b|=1.
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题 38：中点位置向量
已知 $A(1,2),B(5,6)$，$M$ 是 $AB$ 的中点。求 $\overrightarrow{OM}$。
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中点坐标为
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M\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(3,4).
$$
所以
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\overrightarrow{OM}=(3,4).
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题 39：由系数读线段比
在 $\triangle ABC$ 中，
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\overrightarrow{AP}
=\frac14\overrightarrow{AB}
+\frac34\overrightarrow{AC}.
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判断 $P$ 在哪条边上，并求 $BP:PC$。
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两个系数相加：
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\frac14+\frac34=1.
$$
所以 $P$ 在直线 $BC$ 上；两个系数都非负，所以 $P$ 在线段 $BC$ 上。
把式子写成
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\overrightarrow{AP}
=(1-s)\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}.
$$
可见
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s=\frac34.
$$
这表示从 $B$ 到 $C$ 走了全程的 $\frac34$，所以
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BP:PC=3:1.
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题 40：由数量积判断同向
已知 $|\vec a|=2,|\vec b|=1$，且
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\vec a\cdot(\vec a-2\vec b)=0.
$$
求 $\vec a,\vec b$ 的夹角。
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展开题设：
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\vec a\cdot\vec a-2\vec a\cdot\vec b=0.
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即
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|\vec a|^2=2\vec a\cdot\vec b.
$$
因为 $|\vec a|=2$，所以
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4=2\vec a\cdot\vec b,
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从而
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\vec a\cdot\vec b=2.
$$
设夹角为 $\theta$：
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\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta
=2\cdot1\cdot\cos\theta.
$$
所以
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2=2\cos\theta,\qquad \cos\theta=1.
$$
因此
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\theta=0^\circ.
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使用建议
- A、B、C 三组适合在讲完“基底与共线”之后当天布置。
- D、E 两组适合在讲完数量积之后布置，要求学生每题都说出“数量积翻译了什么”。
- F、G 两组适合周日 2 小时课做综合讲评。
- H 组适合作为上课前 10 分钟口算或小测，训练题型识别速度。