研究对象
向量是有大小、有方向的量。两个向量只要长度相等、方向相同，就相等；它们不依赖于画在平面上的具体位置。因此向量也叫自由向量。
必须区分三种对象：
- 点：例如 $A,B,C$，表示位置。
- 有向线段：例如 $\overrightarrow{AB}$，从 $A$ 指向 $B$。
- 自由向量：例如 $\vec a,\vec b$，只看长度和方向，不看起点。
位置向量是把点放到原点坐标系里看：若 $A(x_1,y_1)$，则
$$
\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1).
$$
而
$$
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.
$$
这句话非常重要：从 A 到 B 的位移，等于终点位置向量减起点位置向量。
核心知识结构
1. 向量加法：首尾相接
若先从 $A$ 到 $B$，再从 $B$ 到 $C$，总效果就是从 $A$ 到 $C$：
$$
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
$$
这不是公式技巧，而是位移的合成。
2. 向量减法：转成加相反向量
$$
\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b).
$$
在图形里，最常用的减法形式是：
$$
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.
$$
如果题目里有很多点，先把所有点写成同一个原点下的位置向量，往往就清楚了。
3. 数乘与共线
数乘 $k\vec a$ 改变长度和方向：
- $k>0$：方向不变，长度变为 $|k|$ 倍。
- $k<0$：方向相反，长度变为 $|k|$ 倍。
- $k=0$：变成零向量。
共线的核心判定是：
$$
\vec a\parallel \vec b
\quad\Longleftrightarrow\quad
\vec a=\lambda\vec b
$$
其中 $\vec b\ne\vec 0$。坐标形式为：
$$
(x_1,y_1)\parallel(x_2,y_2)
\quad\Longleftrightarrow\quad
x_1y_2-x_2y_1=0.
$$
4. 基底表示：把图形拆成两个方向
若 $\vec e_1,\vec e_2$ 不共线，则平面内任意向量都能唯一写成
$$
\vec v=x\vec e_1+y\vec e_2.
$$
这就是“基底”。在三角形中，经常取
$$
\overrightarrow{AB}=\vec a,\qquad \overrightarrow{AC}=\vec b,
$$
然后把中点、重心、分点都表示成 $\vec a,\vec b$ 的组合。
例如 $M$ 是 $BC$ 中点，则
$$
\overrightarrow{AM}
=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})
=\frac12(\vec a+\vec b).
$$
5. 坐标表示：把向量变成有序数对
若 $\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2)$，则
$$
\vec a+\vec b=(x_1+x_2,y_1+y_2),
$$
$$
k\vec a=(kx_1,ky_1),
$$
$$
|\vec a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}.
$$
坐标法的优点是稳定：共线、垂直、长度、夹角都能转成方程。
6. 数量积：把夹角和长度变成乘法
数量积定义为
$$
\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta,
$$
其中 $\theta$ 是 $\vec a,\vec b$ 的夹角。
坐标形式为
$$
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2.
$$
数量积负责四类问题：
- 求夹角：
$$
\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}.
$$
- 判垂直：
$$
\vec a\perp\vec b\quad\Longleftrightarrow\quad \vec a\cdot\vec b=0.
$$
- 求长度平方：
$$
|\vec a+\vec b|^2=(\vec a+\vec b)^2.
$$
- 求投影：
$$
\vec a\text{ 在 }\vec b\text{ 方向上的投影数量}
=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}.
$$
7. 向量与三角形
向量进入三角形后，最常见的翻译是：
- 中点：$M$ 是 $AB$ 中点，则 $\overrightarrow{OM}=\dfrac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}2$。
- 重心：$G$ 是 $\triangle ABC$ 重心，则 $\overrightarrow{OG}=\dfrac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}3$。
- 共线：$A,B,C$ 共线等价于 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}$。
- 垂直：$AB\perp AC$ 等价于 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$。
- 角：$\angle BAC$ 由 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角决定。
方法识别
| 题目信号 | 优先方法 | | --- | --- | | 出现中点、重心、分点 | 用位置向量平均或基底表示 | | 证明三点共线 | 写成 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}$ | | 出现垂直、夹角、投影 | 用数量积 | | 出现长度或最值 | 先平方，转成数量积或坐标二次式 | | 图形中点很多 | 选基底，统一表示 | | 坐标已给出 | 直接坐标化，不要硬画图 |
典型例题
例 1：中点向量
在 $\triangle ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点。设 $\overrightarrow{AB}=\vec a,\overrightarrow{AC}=\vec b$，求 $\overrightarrow{AM}$。
查看解析
从 $A$ 看，$B$ 的位置是 $\vec a$，$C$ 的位置是 $\vec b$。中点的位置向量取平均：
$$
\overrightarrow{AM}=\frac{\vec a+\vec b}{2}.
$$
这不是记忆公式，而是“中点坐标等于两个端点坐标平均”的向量版本。
例 2：共线参数
已知 $\vec a=(2,3),\vec b=(4,t)$，若 $\vec a\parallel\vec b$，求 $t$。
查看解析
共线等价于坐标行列式为 0：
$$
2t-3\cdot4=0.
$$
所以
$$
t=6.
$$
例 3：数量积求夹角
已知 $\vec a=(1,2),\vec b=(2,1)$，求 $\vec a,\vec b$ 的夹角。
查看解析
$$
\vec a\cdot\vec b=1\cdot2+2\cdot1=4,
$$
$$
|\vec a|=\sqrt5,\qquad |\vec b|=\sqrt5.
$$
所以
$$
\cos\theta=\frac4{5}.
$$
因此夹角为
$$
\theta=\arccos\frac45.
$$
自我训练
学习平面向量时，学生每做一道题都要说出：
- 我现在处理的是点、线段还是自由向量？
- 我选的基底或坐标系是什么？
- 哪些条件被翻译成了共线、垂直、长度或夹角？
- 我的参数范围有没有漏？
费曼讲题任务
每次课后让学生准备 1 道向量题讲解，讲解必须包含：
- 为什么想到用向量，而不是纯几何？
- 选择基底或坐标的理由是什么？
- 关键等式是哪一个？
- 如果把中点改成三等分点、把垂直改成夹角，方法怎样变化？
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